Première Partie. Livre I

Maintenant, si nous faisons la constante A, qui est encore à notre disposition, égale à Aj, que nous intégrions et que nous égalions la constante d'intégration à zéro, c'est-à-dire, la constante 6 à ôj, notre résultat sera:

(a) â ^ a^ sin L^ — -al sin 2L^ + -o^ sin 3I/3 — . . . ,

formule en pleine concordance avec celle qu on aurait pu tirer immédiatement de réquation (12) du chap. I.

Passons au deuxième cas. Puisque maintenant a, est plus grand que Tunité, nous mettons:

I + — ces L, a, -h ces /y, J a^

i»+ 2a- cos L. + al a, 2 i

I C0SX„ H ^COS2l/2 . . . .

Avec ce développement, nous aurons, en vertu de Fexpression de ^, la suivante:

I COS i« + -5 COS 2i, . . .

Delà, il est visible quon doit mettre A = A^, afin que la fonction d ne contienne que des termes périodiques.

Puis, en intégrant, nous aurons un résultat que nous écrivons, eu égard à réquation (12) (chap. I), de la manière suivante:

(b) ^ = &j — ô + const. sin L^ + Y~^^^^ ^^2 — • • •

Maintenant, si nous faisons la constante d'intégration égale h b^ — b^j et que nous égalions ô à &,, nous aurons la fonction â dépourvue de tout terme constant.

Donc, s'il s'agit de mettre lagrégat périodique

A = a^ cos(A,t? + b^) + a^ cos(A2t; + b^)

116 Traité des Orbites des Planètes.

SOUS forme d*un seul terme, nous aurons dans le premier cas:

la fonction 0 étant donnée par la formule (a); et, dans le second:

A = a^K/'i + — cosXj + ~ . cos(A2î; + b^ + â),

formule dans laquelle on doit employer le développement (b) de la fonction 0. Quant au troisième cas, nous voyons immédiatement que lexpression

de -r- sera indépendante de largument L^ et en conséquence, constante.

Nous aurons, en effet, lorsque nous égalons a^ à l'unité: *

Donc, si nous égalons A à - (A^ + ^2)? ^ à - (6^ + b^) et la constante d'intégration à - (ô^ — JJ, la fonction â disparaîtra, et nous retenons:

A = a, v^2(i + cosL,) cos Q (A, + K)^ +1 (*i + ^))

= 2a, cos^ L, cos Q(A, + X^)v'+ ^(6, + ^j)),

résultat qu'on peut facilement vérifier, par le calcul direct.

35. Après avoir envisagé notre problème dans les circonstances particulières les plus simples, revenons au cas général. Nous allons entamer la discussion en établissant le développement de la fonction

Dans ce but, faisons d'abord lobservation que la fonction 9^ se met sous les deux formes suivantes: