Première Partie. Livre I

Cette expression de /7 dépendant non seulement de r mais aussi de

dr .

^ , il en résultera néanmoins une équation différentielle qui s'intègre immédiatement. En effet, si Ton introduit lexpression dont il s agit dans 1 équation (2), on en tire la suivante

dont rintégrale est:

où Ton a désigné par /i'/ la constante dmtégration. En posant:

Z = I ; fidv == dt ,

on retombe dans les équations:

dv I dr

que M. PoiNCARÉ a traité dans son mémoire »sur les courbes définies par les équations différentielles».

L'intégrale complète de notre équation différentielle se met sous la forme

r = 2 — cos {fjLV + 0),

C étant une seconde arbitraire. En y supposant /x incommensurable avec la circonférence, on en déduira facilement les propriétés de la courbe signalées par M. PoiNCARÉ, notamment celle que la courbe s'entortille autour du centre des deux cercles en sillonnant la couronne entre eux de manière que les points d'intersection remplissent entièrement cet espace.

Si Ion introduit, dans l'expression admise de /7, les valeurs de r correspondant aux apsides, à savoir:

^ = M ^, = 3, on obtient les deux résultats que voici:

14 Traité des Orbites des Planètes.

Donc, si IX est moindre que l'unité, la quantité II — i prend des valeurs alternativement positives et négatives sans que II devienne jamais négatif: en conséquence, la courbe est périplégmatique dans le sens de ce mot que j ai établi dans le premier numéro. Mais si au contraire /i était plus grand que Tunité, ou rencontrerait des valeurs négatives de Uy ce qui entraînerait des changements dans le sens de la courbure, de sorte que la courbe serait alternativement concave et convexe vers la circonférence intérieure: dans ce cas, la courbe cesserait d'être périplégmatique.

4. Venons maintenant à un exemple qui présente plusieurs analogies avec le type dernièrement considéré, mais où les courbes, contrairement à ce qui avait lieu dans le cas de M. Poincaré, ne changent pas le sens de la courbure. Pour y arriver, supposons:

y?j étant une constante que nous supposons plus petite que Tunité.

Avec cette expression, nous aurons immédiatement de 1 équation (4) celle-ci:

d où Ton tire, en désignant par x ei F deux arbitraires,

^ = X cos [(i —<:)v — r\ le coefficient de v étant donné en vertu de la formule

D'un autre côté, si Ion porte la valeur adoptée de II dans Téquation (9), il viendra: