Première Partie. Livre I

la fonction p , n'est isocinétique avec w . Donc, dans ce cas, un argument astronomiquQ est remplacé par un argument non-astronomique.

Cependant, on pourrait aborder le problème de trouver la relation entre le temps et la longitude dans le plan instantané, d une autre manière que celle employée dans le chap. III: on pourrait, en efEet, déjà dans l'équation (43) du chap. I, supprimer la quantité c, de sorte que le facteur de V serait devenu égal à Tunité au lieu de i — c. En opérant ainsi, on obtiendrait, au lieu des formules (19) du chap. I, les suivantes:

^ = ^ COS ff =

tj sin w

s c er,

Ayant déterminé les fonctions tj et ;r de la sorte, on aurait trouvé un résultat relativement à rj identique avec celui qui découle des équations (19) du chap. I; mais quant à Fangle ;r, en le tirant des équations (i8j, on ne le trouverait plus exprimé par un agrégat périodique, mais bien par im tel agrégat augmenté d'un terme de nature séculaire. Langle ;r, déterminé de la sorte, serait, en effet, identique avec la longitude vraie du périhélie, longitude que nous avons désignée (p. 106) par n^.

On pourrait donc penser être parvenu aux formules les plus simples, en adoptant le système (18) avec toutes ses conséquences, mais en faisant un examen comparatif des deux systèmes, les équations (18) et les équations (19) du chap. I, on se convaincra que les variations des fonctions ^f et A, celles-ci déterminées par les équations (19) du chap. I, sont, dans le premier cas, et même dans le second en y changeant c en <r^, moins sensibles que celles des dites fonctions déterminées par les équations (18), naguère mises en évidence. Ainsi, en employant les formules du chap. III, où Ton a partout supposé les fonctions dont il est question déterminées en vertu des équations (19) du chap. I, on fondera les recherches suivantes sur des expressions où les quantités considérées d abord comme constantes dans les intégrations par parties, sont soumises aux plus petites variations

126 Traité des Orbites des Planètes.

possibles. C'est pour cette raison qu'on a jugé convenable d'adopter la forme indiquée pour les fonctions dont il s'agit.

En opérant de cette manière, on réduira la fonction X, déterminée par l'équation (13) du chap. précédent, à son minimum, mais on gagnera encore l'avantage de rendre certaines approximations, dans ce qui va suivre, aussi rapides que possible. Dans le troisième cas, cependant, la manière de définir les fonctions g et h que nous avons mise en usage par les équations (16), ne remportera pas essentiellement sur celle où l'on a supposé ces fonctions déterminées en vertu des équations (18). On pourra néanmoins, même dans le troisième cas, employer Téquation (43) du chap. I, en y remplaçant C par (T et r par J5, mais alors il ne faut pas oublier que les fonctions 7j cos {tt — B) et 7j sin {tt — B) sont déterminées au moyen des équations (16), c'est-à-dire, par des agrégats périodiques sans terme constant.

37. Il serait de quelque intérêt d'introduire, dans l'équation (43) du chap. I ainsi que dans l'équation (i) du chap. III, au lieu des fonctions g et h leurs valeurs moyennes; on aurait ainsi une courbe périplégmatique en quelque sorte une courbe moyenne représentant l'infinité des spires de la courbe effective. Cherchons à déterminer ces valeurs.

Dans ce but, examinons ce que devient la valeur moyenne d'un agrégat périodique, en formant cette moyenne d'une infinité de valeurs particulières.

En considérant les inégalités

— I < fcosxdx < I, — I <fsmxdx< i,

et que la valeur moyenne de l'agrégat périodique A, entre les limites o et m, est donnée par l'expression

on comprendra aisément que la valeur dont il s'agit tend à décroître au fur et à mesure que m augmente. Il s'ensuit que la valeur moyenne d'une infinité de valeurs particulières de A, calculées avec des valeurs équidistantes de la variable indépendante, est égale à zéro. Il est inutile