Première Partie. Livre I

d'ajouter qu'on a présumé l'intégrale indéterminée jAdv exprimée par un nombre fini de termes ou bien par une série uniformément convergente.

Maintenant, si nous ne considérons que les deux premiers des cas indiqués vers la fin du n° 33, nous concluons, en vertu du théorème énoncé tout à l'heure, que la valeur moyenne de tj cos (;r — F) est égale à x et celle de tj sin [7: — f), égale à zéro. Dans le deuxième cas, il faut changer X en Xn et F en jB„.

La valeur moyenne de rj^^ que nous allons désigner par yjl, n'est pas égale à x^y mais bien donnée au moyen de la formule

(19) yj\ = x' + x\ + A + --;

cependant, puisque le module x (ou bien, dans le second cas, le coefficient x^ est plus grand que la somme des autres coefficients diastématiques, le carré de x est à fortiori plus grand que la somme des carrés des autres coefficients. Il s'ensuit que la partie prépondérante de tj^ e^ égale à x^^ de sorte qu'on pourra, lorsqu'il ne s'agit que d'une exactitude limitée, mettre x^ à la place de tjI,

Cela étant, si l'on introduit, dans l'équation (43) du chap. I, au lieu de yj^j îycos(;r— F) et 7j^m{n — /'), leurs valeurs moyennes indiquées ci-dessus, on arrivera à l'équation

I + ;f cos (( I — ç) V — T) '

c'est précisément l'équation de la courbe périplématique qu*on a considérée dans le n° 4.

Cette courbe, ayant été employée déjà par Clairaut comme une sorte d'orbite intermédiaire de la lune, je la nommerai courbe de Clairaut. Elle n'approche pas, il est vrai, assez de la trajectoire de cet astre pour être adoptée définitivement à cette fin, et en conséquence, elle ne sera pas d'une importance particulière comme orbite intermédiaire, mais elle nous sera toutefois utile, lorsqu'il s'agit d'évaluer, moyennant des approximations successives, la longitude d'une planète dans son plan instantané. En effet, ayant calculé, pour le temps r — r^,^ la valeur de /* d'après

* On doit s'imaginer la variable C du chapitre III identifiée avec r.

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128 Traité des Orbites des Planètes.

les formules du n"^ 4, on trouve la longitude demandée en vertu de lexpression

valeur avec laquelle on passera aux approximations suivantes.

Dans le troisième cas, les valeurs moyennes des fonctions îy cos (;r — B) et yj sin [tc — B) sont, toutes les deux, égalées à zéro, vu que ces fonctions s expriment au moyen dagrégats périodiques sans terme constant. Mais avec ces résultats, la courbe de Clairaut devient tout simplement un cercle, ce qui nous indique qu on doit, dans le cas envisagé, égaler l'angle f à

(i-c)a'^(r-rj.

Etant ainsi arrivé à une valeur approchée de la longitude v, dont

Terreur sera, dans les deux premiers cas, inférieure à + - , mais dans le

troisième cas n'excédera pas les limites +7r, on aura, moyennant une approximation nouvelle, une valeur de v très approchée de sa vraie valeur. Pour élucider la portée de cette nouvelle approximation, mettons

V ^ V^ + ÙlV,

Vç^ étant la valeur préalable de v.

En introduisant, dans les équations (19) du chap. I, cette expression de V, et en développant suivant les puissances de At?, il en résultera:

71 cos (;r — r) = X + C[;r, C — ^, F— B;\{v^)

sin

^G[x„{ç-<r,) ç-a. r-5JK) +

Dans ces développements, qui dans le premier cas donnent immédiatement les valeurs de ly et ;r, qn doit remplacer x par x„, c par a^ et F par B„ pour avoir les formules applicables au second cas. Dans le troisième cas finalement, on déduit des équations ( 1 6) les développements que voici :