Première Partie. Livre I

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De ces expressions, on comprend aisément que Terreur quon commet en négligeant d abord l'incrément Ar, est toujours une petite quantité du même ordre que les vitesses c, ^, , ^2 1 • • . • En conséquence, les valeurs des fonctions rj et tt qu'on obtient de la sorte ne diffèrent des valeurs exactes que de quantités de Tordre signalé.

Si Ton établit, avec les valeurs ainsi obtenues, une nouvelle courbe de Clairaut, on en obtiendra une nouvelle valeur de t;, dont Terreur sera une quantité du même ordre que les vitesses ç, ^r, , . . . .

Dans la troisième approximation, on se procurera une valeur approximative de la fonction X, ainsi que de nouvelles valeurs des fonctions tj et r, après quoi on obtiendra Targument G tellement approché de sa vraie valeur que Terreur commise sera une quantité du second ordre par rapport aux vitesses C, ^, , • • . . S'il était nécessaire, on pourrait renouveller les opérations indiquées, et on arriverait finalement, par cette voie, à des valeurs de la longitude v et des fonctions îy et r, si exactes qu'on voudra.

38. Si la valeur de Tangle v est donnée, celles des fonctions /cos(i2 — 0) et Jsin(i2 — 0) s'obtiennent sans aucune difficulté. On y arrive en introduisant, dans les formules (48) du chap. IT, la valeur de v. Mais il faut

Traité des orbites absolues. 17

130 Traité des Orbites des Planètes.

toutefois se rappeler que Ténoncé se divise en trois cas distincts, selon ce^ que nous venons de dire dans le n** 33.

Dans le premier cas, on emploiera les formules citées sans aucune modification, mais dans le second cas, on y changera t en t^, T en r„ et 6 en 5„, t^ étant le plus grand des coefficients anastématiques, le module y compris. Dans le troisième cas finalement, on cherchera d'abord, d'après les règles du n° 35, la valeur du mouvement moyen du noeud. Avec cette valeur, on formera de nouveaux agrégats périodiques, tout en analogie avec les agrégats (16), et on déterminera finalement les fonctions J et i2, dont la dernière restera alors comprise entre dès limites données. H ne sera pas, cependant, nécessaire de mettre en évidence, dans notre troisième cas, la vitesse moyenne du noeud, vu qu elle disparaîtra finalement des formules; on pourrait, au contraire, opérer de la manière qu'on a expliquée dans le n° 37, en établissant des équations tout à fait analogues aux équations (18). Les valeurs de la fonction i2, évaluées au moyen de ces équations, augmentent hors de toute limite, et on aura, au lieu de Téquation (29) du chap. III, celle-ci:

i9, = fi.

Quant aux expressions de la longitude du noeud moyen dans les trois cas, on maintiendra, dans le premier cas, la formule (27) du chap. III; dans le second cas, on aura:

et dans le troisième:

d étant le moyen mouvement du noeud, si celui du mobile est égal à Tunité, et 5, langle constant, déterminé de la manière qu'on a expliquée dans le n*^ 35. Qu'on se rappelle quen vertu des équations (35) du chap. III les angles ê^ et 0 sont isocinétiques, d'où il s'ensuit qu'il en sera de môme quant aux angles â et 0.

39. Les quantités constantes que nous avons considérées comme éléments d'une orbite absolue, soit parce qu'elles sont supposées introduites par des intégrations, soit parce qu'elles dérivent algébriquement d'éléments d'autres orbites, sont des éléments absolus. Par cette dénomination j'entends

d'ailleurs les éléments restant absolument invariables, et qui, en conséquence, acquerront les mêmes valeurs, si on les détermine au mojen d observations faites dans un temps ou dans un autre.

Toutefois, les longitudes moyennes étant soumises aux variations dues aux moyens mouvements, ne sont pas des quantités invariables. Aussi n avons-nous pas pris comme éléments les longitudes moyennes à des époques quelconques; ce sont les longitudes absolues, dont nous avons fixé la notion dans le n® 33, qui sont des éléments absolues véritables, dans le sens rigoureux du mot. Donc, tous les éléments que nous venons de faire entrer dans les formules servant à détermintr, moyennant le calcul, les mouvements dans une orbite absolue, sont des éléments absolus.

Dans la théorie elliptique des planètes au contraire, les élénqents sont des quantités variables, savoir, si Ion néglige les perturbations périodiques, les valeurs des fonctions tj , tt^ , i et 0y déterminées pour une époque quelconque, et encore, le demi grand àxe de Fellipse variable et la longitude moyenne elliptique à Tépoque. On comprend par là, et par ce qui précède, que les différences entre les éléments • absolues et les éléments elliptiques à diverses époques puissent être assez considérables. Cependant, une exception existe. En effet, si Ton considère un système d'éléments elliptiques comme étant des éléments soi-disant moyens, le moyen mouvement doit être identique avec le moyen mouvement employé coiftne élément absolu, et par conséquent, la valeur du demi grand axe doit sapprocher sensiblement de la valeur du protomètre. En appliquant la méthode de la variation des constantes arbitraires, on n a toutefois pas réussi à mettre hors de doute l'invariabilité de cet élément moyen; le contraire paraît même probable. Pour plus de détails relativement à ce point, il suffit de renvoyer le lecteur à ce que dit M. Tisserand dans son Traité de la mécanique céleste^ T. I, p. 402.

Déjà par les recherches de Lagrange et de Laplace, on est convaincu que les coefficients diastématiques et les coefficients anastématiques, les modules y compris, sont des quantités assez petites. A un pareil résultat sont aussi parvenus, plusieurs savants postérieurs, à ne citer que Le Verrier et Stockwell. Cependant, les méthodes suivant lesquelles les coefficients mentionnés ont été calculés, n'étant pas exemptes d'objections, il ne parait pas convenable de fonder, sur l'hypothèse que le résultat obtenu soit aussi le résultat définitif, les développements des forces attirantes, dc-

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veloppements dont nous allons nous occuper dans les livres prochains. Mais ce qu'on pourra admettre sans aucune .hésitation lorsqu'il s'agit des

planètes principales, c'est que les fonctions /?, -i^, j et -i^ restent, pendant

un grand nombre de révolutions, des quantités assez petites. Une telle hypothèse est, en effet, incontestable en vertu des données qu'on a obtenues au moyen des observations astronomiques. A cette hypothèse, je vais joindre une autre, aussi confirmée par les observations, savoir que les valeurs

de la fonction -y-| soient très petites pendant un long intervalle du temps, la fonction -~ étant donnée par l'équation (i) du chap. III.

Gbogle