Première Partie. Livre II

OU Ton a mis en évidence la fonction diastématique îy, qui figure comme variable indépendante dans les expressions des XJ^"*^; et, si Ion changeait v en v\ û> en û>', . . . , on trouverait le résultat analogue

(9') • g^mc'—') ^ x^^\7j')e''^^'''-^'^'^^^ +

Finalement, en remplaçant les angles G + ;r — Fet Q' + ^r' — JT' par leurs valeurs données au moyen des formules (8) et (8'), on arrivera aux relations cherchées entre les angles v — w et v' — w'.

4 1 . Avant d'effectuer les substitutions indiquées, il convient de chercher de nouvelles relations entre les arguments dont il s'agit. D abord, admettons la notation

(10) H = F — G' — jr(F — G), en sorte que nous ayons:

H = ^\B, sinF + B, sin 2F + . . . }

— B[ sinF— B; sin 2F'—

La fonction H, s écrivant, par la définition, ainsi:

H = jr(G + ;r) — (G' + tt') — f (F + ;r) + F + ;r', on obtient, en vertu de la relation

G + ;r = ^XG' + t:') + A — if'N + U', qui découle immédiatement de Féquation (5), le résultat

(11) H = — ^(F + ;r) + F + ;r' + f^yl — /!' — U. Ensuite, si Ion admet encore la notation

(lo') H' = F — G — j^'(F' — G'),

on parviendra de même à l'expression

(1 1') H' = — ^'(F + ;r') + F + TT + ip'M — A — \]\

Evidemment, les fonctions H et H' sont liées entre elles par les relations

TrijàU in orbiteM absolues. 18

Les relations entre les arguments diastématiques que nous venons d'établir au moyen des équations (ii) et (ii')> i^ous rendront des services importants dans la suite. Nous les employerons, cependant, sous une forme, un peu différente. Pour y parvenir considérons les valeurs

F + ;r~ yl = (i — c)(t^ — /l); F + ;r' — /l' = (i — (^){v' — A\

qui découlent immédiatement de Téquation (25) du n° 32; en les introduisant dans les équations (11) et (n')) i^^us arriverons aux résultats

(13) ^ v'—A = ix{v — A)+^^

(130 v-A=Uv^-A)^^^

On a ainsi obtenu des relations très simples entre les longitudes simultanées de deux planètes. Maintenant, pour obtenir de pareilles relations entre les longitudes w et w' des périhélies moyens, il ne faut que se rappeler les formules

C(v /l) = tt, — T; c'(v' — A) = 0)'— r;

en multipliant Téquation (13) par ç' et, l'équation (13') par ç, on obtient alors:

Ici, on peut encore remarquer les relations

V'— to'— A' -{• r = Jv — A —^{<o — r)\ + K + u, v — û> — /H-r = - (v'— A'— ^ {(o'— r)] + H' + U'

et aussi les suivantes

v'— a)'— A'-\- r'=fi{i — <^){v — /l) + H + U, î> — û> — /l + r = -(i— ç){v' — A') + H' -{- U',

qui remplacent, toutes les quatres, les équations (11) et (n')