Première Partie. Livre H

on mettra immédiatement les formules précédentes sous les formes

(20") 27'"'""^''(^ , i) = ^^-;(7) rlr'*^^'X7')^"'"^"'"^''"'*'^"''^ (20'") i;7"''""'^(7', v) = ^^IW) r«--^v)(,)e--"^-^)-/^'<-'-n^

d'où l'on tire, en les comparant avec les formules (20) et (20'), les relations suivantes

(23') ^r^'-'+'^Ciy', ,y)6'"^--^+'»'<-'-^) = i;!lf-'*(î7', ^)^-w(.-r)-;*«.-r)

H paraît inutile de mettre en évidence la continuation des équations (22), en attribuant des valeurs négatives à l'indice m.

43. Dans le courant du calcul, il peut se montrer, la nécessité de convertir un développement suivant les multiples des arguments v', V et ûi' en un autre, dépendant des arguments v , Y et w. Voici la manière d'opérer les transformations y relatives.

Prenons pour point de départ l'équation

(24) e*«« = e'^^G-D^iacr-G)^

a étant un nombre quelconque.

En désignant par A le produit a^ , et en développant les deux facteurs, dont est composé le second membre de l'équation précédente, nous aurons:

Le premier des facteurs mis en évidence s'écrit ainsi: et le second, en vertu de Téquation (8'), de la manière suivante:

Traité des Orbites des Planètes.

donc, en développant les exponentielles dépendant de la différence G — F, nous aurons pour l'expression du facteur dont il s'agit:

+ rw(îy)e*(»-'''-'<— "> + .

Y^o^'K^) + rw(:y)e-«"-''>+'<'-«'> + .

Maintenant, si nous écrivons:

+ i;,e-«^+"> + E,e-'«^'+^' + . . . , et que nous admettions le développement

(26) j;. = D<''(V, :y) + J)i'>(V, :yK<-"> + 2)<«V, ^)e"<— ' +...

8 et r étant des nombres entiers, les fonctions D*.'* seront exprimées au moyen de la formule

X{mv)Y'r\v) + Ynv)Y;i\{v) + • • •

H nous reste encore à exprimer, par un développement suivant les puissances de oy* et de îy'*, le coefficient de Texponentielle imaginaire qui entre dans la formule précédente. Si, à cette fin, nous nous rappelons les équations. (19) et (21) du chap. III du livre précédent, et que nous admettions les notations