Première Partie. Livre II

+ 2/'» cos(v + V' — 2#' — 2(fi' — ©'))

+ lir C08(v — v' — (* — 9') — {Q^e) + Q' — 0')

+ lir cos(v — V' + {» — &') ^ Q — e — iii' — &))

— |//' cos (v + v' — {,> + d') — (ii — &) — (Q' — 0')).

Evidemment, en multipliant les diverses expressions par une fraction

rationnelle de la forme , on pourra les continuer aussi loin qu'on

voudra, toutefois en ne considérant que les termes dont les arguments sont soumis à la condition

Je vais maintenant chercher les termes du quatrième ordre, me restreignant toutefois à n'en signaler que les plus essentiels, parmi lesquels je compte ceux qui satisfont à la condition mentionnée tout-à-l'heure. Les termes dont il s'agit dérivent, d'une part, de la fonction h^^ elle-même, qui renferme des termes multipliés par /*,/V et /'*, d'autre part de hj. La partie du quatrième degré contenue dans h^ s'obtient facilement, si l'on

remplace, dans l'équation (5, a), f par -j/' et f par - /'*, valeurs qui découlent des équations (30) et (34) du n^ 32. Voici la partie en question:

— ^r\P — 7") C0S(V + v' — 2b' — 2(ii' — 0'))

+ ^/»/" C0S(V — V' — 2(5 — »') — 2{Q — 0) + 2(Si' — &)).

En introduisant, dans l'équation (7), cette valeur de b, au lieu de h, et en omettant dans le résultat les termes dont les arguments ne satisfont pas à la condition

il en résultera:

172 Traité des Oi-bites des Planètes.

Termes du quatrième degré provenant de \.

cosH = —^ {P — PI" + 7'^) cos (v — V')

+ ^ P{P — /") cos (v + v' — 25 — 2(ii — 0))

— ^r\P — I") C0S(V + v' — 2^ — 2(ii' — 0'))

+ ^PP" C0S(V — v' — 2(,V — »') — 2{îi — 0) + 2{ii' — 0')),

COS 2/i = — g (7* — 7^7" + 7'*)

+ i 7*7" cos 2(} — »' + a — @ — (Q' — &)) + '- P{P — 7") cos 2{v — & — {Q — 0)) + l P{P — 7") cos 2(v' — » — (Q — %))

— I rV' — ^") cos 2(v — ,y' — (û' — 0'))

— \ r\P — 7") cos 2(v' -^ 5' — {ii' — 0')),

cos 3 7^ = — I (7* — 7'7" + I") cos (v — v')

+ ^7'(7» — 7") cos(v + v' — 2^ — 2{ii — 0)) A/"(/' 7") cos(v + v' — 2^' — 2(ii' — 0'))

+ ^/'7" cos (v — v' — 2(,> — ë') — 2(ii — &)-\- 2(ii' — &'))

-\-f^P{P — r')cos2{v — » — {ii — Q)) + ^ 7»(7' — /") cos 2(v' — ,y — (iii — 0))

— ^r\P — 7'*) COS2(v — d' — (ii' — 0')) ^ /'»(/» 7'») cos 2(v' — l' — {W — 0'))

— -^ 7»7" co$(v — v' + 20^ — W) + 2(i} — 0) — 2(fl' — 0')),

cos4^ = 1 (/* /»/" + I")

+ \ PI''' COS 2{» —W + a — & — {iï — &)) + i /*(/' — I") COS 2{v — » — {îi — 0))

+ i I\r — I") COS 2(v' — » — {ii — Q))

COS 5ff = — I (i^ — /»/'» + /♦) cos(v — V')

+ ^ r{r — I") COS (v + V' — 2^ — 2{Q — 0))

— f-^I'\P — /") C0S(V + V' — 25' — 2(îi' — 0'))

etc.

Aussi ces expressions se continuent-elles en multipliant par lex-

pression de cos nH qu'on a mise en évidence; on obtient ainsi les termes de cos(» + 2)jEf dont il s'agit ici.

Quant aux termes du quatrième degré provenant de hj , on les déduit en multipliant, par la partie du quatrième degré de hj, les expressions des <r„2 signalées plus haut.

Voici d'abord la partie de hj dont il s'agit:

— i //'(/' + /") COS (5 — 5' + ii — 0 — (ii' — &)) + ^ri" COS 2{» — d' + ii — Q — (ii'- 0')) 4-^(7' + /'T COS 2(V-V')

Cette formule se conlinue à la page suirante.

-I7 j^r COS 2(v + V' — 2^ — 2(Q — 0))

+ j^r* COS 2(V + V' — 2»' — 2{ii' — 0'))

— ^ /'(/' + 5/") COS 2(V — ^ — (û — 0))

— ^IXP + /") COS 2(V' — ^ — (û — 0))

— ^r\r + 7") COS 2(V — »■ — (Û' — 0'))

— ^/"(5/' + /") COS 2(v' — &' — iH' — 0'))

+ i /'/" COS 2(v — V' — (# — *') — (i2 — 0) + i2' — 0') + ^PI" COS 2(v + v' — (5 + *') — (i2 — 0) — (i2' — 0'))

— i //'(/' + 7") COS (2(V —V') — (» — »') — (Û — 0) + û' — 0') + I //'(/' + 2/") C0S(2V — {* + *') — (i;i — 0) — (W —&)) + i /Z'(2/' +"/") COS (2V' — (» + &') — (ii — @) — {ii- — &))

— g 7'7' cos(2(v + V) — 3& — »' — 3(i2 — 0) — (û' — 0'))

Maintenant, en effectuant les multiplications indiquées, et en omettant les termes dont les arguments ne satisfont pas à la condition

p + g<2, on arrive aux

Termes du quatrième degré provenant de hj.

Dans l'ezprdssion de cos £f , il n'y a pas de tels termes; dans l'expression de cos2ff, ces termes s'obtiennent tout simplement en multipliant, par 2, l'expression précédente de hj.

cos