Première Partie. Livre H

— I l'i^gP '+ 1 7/") cos 2(v — &' — m' — &))

— I /"(53/' + 1 7/") cos 2(v' — »' — (Û' — 0'))

+ l ir{2sP + 26/'^) cos(2v — (,v — ^') — (H — 0)(i2'0')) + l ir{26P + 25/") cos (2v' — (^ + ,y') — (Q — 0) — (i2' — 0')) + ^/'/' cos (2v — 3^ + ^' — 3(^ — &) + ii' — &) -\- ^ //" cos (2v' + ^3^' + i2 0— 3(ii' — 0')) + 6/ V cos (2v' — 3^ + S' — 3(i2 0) + û' 0') + 6/7" cos {2v + » — 3&' -\- Q — Q— 3(i2' — 0')),

cos 7H= ^ (35/* +, 142/'/" + 35/")

— ^ //'(/' + 7") cos (v ~ v' — (S — *') — (û — 0) + i2' — 0)

— lllnxr + 7") cos (v — V' + ^ — S' + i2 — 0 — (i^ — 0'))

-f !3 pj'i cos (y v' — 2(d — S') — 2(i} — 0) + 2(Q' — &')) ,

+ 14 7V* cos (v — v' + 2(,y — ^') + 2(i2 — 0) — 2(ii' — 0')) 7'(7' + 3/'") cos(v + V' — 2^ — 2(i2 — 0))

— Y /"(3/' + /") cos(v + v' — 2»' — 2(ii' — 0'))

+ Ç 77'(7» + 7") cos (v + v' — (^ + ^') — (û — 0) — (ii' — 0'))

+ " rr cos(v + V — 3λ + Â*' — 3(^ — 0) + i2' — 0')

+ ^ 77'=* cos (v + v' + ,y — 3,y' + i2 — 0 — 3{ii' — &)).

La continuation de ces fonnules est moins aisée que celle des expressions dépendant de la première puissance de h,. Dans les cas, d'ailleurs

Traité dt* orbites abaoluts. 28

178 Traité des Orbites des Planètes.

très rares dans notre système planétaire, où il faut procéder plus loin, on établira d*abord les expressions des fonctions W^,^^ n étant un nombre entier plus grand que 7, après quoi on obtiendra sans trop de peine les formules des parties de cosSlT, de cosgJï, etc., dont il s agit.

Par Tinspection des formules signalées donnant les différents termes de cos nH, on reconnaît facilement que tous les arguments sont composés de trois arguments fondamentaux, à savoir: v — ^ = v — ^; v' — ^'=v' — ^' et ^ — S' = * — ^' — {G — G'). Ainsi par exemple, les termes de cosH du degré zéro et du deuxième degré s'écrivent de la manière suivante:

(8) cosfl' = } I — '-r — ~r'\cos{v — ^—(v'— »') + » — ê'—{G—G))

+ '-Pco^{v — » + v' — '»'—{i» — »') + G— G' — 2{ii — 0))

+ i7''cos(t; — î9 + V' — -»' + {^ — n' — [G—G')— 2(i2'— 0'))

+ \ir co^{v — ê — (v' —ê')— (£ — 0) + Q' — &)

~-jr cos(t; — ,9 + t;' — ,5^' — (Û — 0) — (i2' — 0')).

Ensuite, les divers termes se transforment immédiatement, ce qui est facile à voir, de manière que les coefficients apparaissent comme fonctions de /sin(i2— 0) , /cos(i2 — 0) , /' sin (i2' — 0') et /' cos (i2' — 0').

On peut encore remarquer que les différents cosinus se développent aisément suivant les puissances de G — G* vu que les fonctions G et G' et, par conséquent, leur différence sont des agrégats périodiques du deuxième degré par rapport aux modules et aux coefficients anastématiques.

Il résulte de ce que nous venons d'observer que les arguments ne renfermeront finalement que des multiples des trois arguments fondamentaux : v — ê\ v' — ê\ei 0 — ê\

51. L'expression de la fonction h que nous venons de signaler par

l'équation (4) repose sur la supposition que les fonctions î ? 3^ j î' ®t ^

s'expriment au moyen des équations (49) et (50) du n° 23, c'est-à-dire que ces fonctions soient des agrégats de termes élémentaires ou sousélémentaires.