Première Partie. Livre IL

Dans Tétat réel des choses, ces fonctions renferment pourtant aussi des inégalités, ce qui amène, dans les expressions des cosnfl", des termes dautres formes que celles qui y sont produits par les termes élémentaires

^® } ) ;j^ ' j' ^* ~;h • P<^^r séparer les deux espèces de termes, nous allons

chercher Texpression de h, donnée immédiatement comme fonction des quatres quantités mentionnées.

Dans ce but, rappelons-nous les formules (59) du n® 23 qui donnent, après y avoir remplacé v — G par v :

cos h cos l = cos V + - sin i'(i + f) sin 0 sin (v — 0), cos 6 sin Z = sin V — - sin i^(i + f) cos 0 sin (v — 0). On aura de même:

cos 6' cos/' = cos v' + -sini'^(i + f) sin 0' sin (v' — 0'), cos 6' sin /' = sin v' — ^sin i''(i •+• f) cos0' sin (v' — 0').

En introduisant ces expressions dans Téquation (2), il en résultera:

cos £f = cos (v — v') — i sin i\i + f) sin (v — 0) sin (v' — 0)

— ^sin i'\î + f ) sin (v' — 0) sin (v' — 0')

+ -sini'sini'Xi+f)(i+ncos(0 — 0')sin(v-0)sin(v'— 0')

+ îî'. Mais puisqu'on a identiquement:

sin (v' — 0) = sin (v — 0) cos (v — v') — cos (v — 0) sin (v — v'), sin (v — 0') = sin (v' — 0') cos (v — v') -f cos (v' — 0') sin (v — v'), cos (0 — 0') = cos (v — 0) cos ( v'— 0') cos (v — v') + sin (v — 0) sin (v'— 0') cos (v — v') -f sin (v — 0)cos (v'— 0')sin (v — v') — cos(v — 0)sin (v'— 0') sin (v— v'),

180 Traité des Orbites des Planètes.

on déduit facilement, en considérant les équations (46) du n^ 22 l'expression que voici:

(9) oo,fl=co,(v-v) l(,+r,,'+l(,+i%''-l[\l'J^\lp/J^j%

-i(i+t)(i+f)aV

cos(v — v')

'^ \2 l + g^dv 2 î + g'^ dv' '^ 4 l + g' ^ ^ dv'

1(1 + fXi +0 „ tiji . / ,.

Evidemment, si Ton retranche cos (v — v') du second membre de l'équation trouvée, on retient les termes constituant la fonction h; en négligeant les termes du quatrième degré, on parvient ainsi à l'expression

(.0) h = -i(î' + ncos(v-v')+^aJ-a'^)sin(v-v') + aj'.

MainteDant, si l'on se rappelle les expressions des fonctions ï*],.i qu'on a données dans le numéro (49), on déduira aisément, avec la valeur signalée de h, les expressions suivantes:

COS2fl = -3'-j'='

+ 4J3'co8(v — v'), cos sfl" = — 3(j* + a"0 cos (v — v')

+ (i-ia'— 3r)cos3(v-v')

+ 3îî'

+ 6aj' cos 2(v — v'),