Traito «le? Oi-liitcs clos Planète

Mais on pourrait aussi, au moyen de multiplications faites par p\ calculer les produits dont il s'agit, et on obtiendrait ainsi des résultats servant à vérifier les formules du dernier numéro. Dans ce but, on devrait exprimer p au moyen des arguments v et V. Ce mode de contrôle étant toutefois assez laborieux, lorsqu'il s'agit de produits d'un ordre élevé, je me restreins à n'en donner qu'un seul exemple.

Si l'on suppose, dans les expressions (lO, o, i,i) et (11,0,1,2), n égal à zéro, on obtiendra l'expi'ession suivante de p' renfermant les termes du premier et du deuxième degré. Les voici:

' i-,l „„'^-l(:r-/')-l(,T--/'') + Hr + V-tu)

En multipliant, par le.s deux premiers ternies de l'expression mise en évidence, la formule (11, 0,1,2), et, par les autres termes de la dite expression, la formule (10,0,1,1), la somme des produits obtenus de la sorte doit être égale au produit /^'V"^'"'', en n'y considérant que les termes du troisième degré. On obtient en effet:

Promière Partie. Livre II. 285

Xîyyy"6>"'<'^'-'''+'l'"+"^-"^'-"-'""'l

' /-l'i+ 1 V,-I ^ çV".-l) ^,j' 3g-l(--/') + 2t(-' -/") + tl(>i + l)»-(>.+2)V-,„--,„„']

1 /^(H + I)!.'.! 1 ^ç.l\^ '2gi|.--/') + 2i;(.T-/") + i|(n-l)t)-(H+2)V + a.-n(u']

+ 4IS1 +m +S1 +S1 +-?i j

L'expression mise en évidence devant être identiijue avec celle que nous venons de donner moyennant la formule (12,0,2,3), «Jn ne saurait remplir cette condition à moins qu'on n'ait:

sV'' = ^{B^-"^'' + s'r"'' + s\- ' + 2Ï'').

("- -Mi-,! („ l)v,l 1^ c, I

286 Traité des Orbites des Planètes.

£»,-! 1 ■ i«-'.M ' /£«-!, -1 l £«-1,1 l in+1,-1 1 rl.l I -7^1. -M

^1 '^''i — 2^''! "i^'i "rsi -t->i"t"-si j,

SI I 2^1 — , i,s 1 -r s I -r Çi -]- Ç\ -r-si j,

tu— '2,-1 *n — 1, — 1 i -1,1

SI — Si -f s 1 ,

SI SI "T s 1 ■

Mais en sub,stituant, dacs ces équations de conditiou, les valeurs des coefficients £ et ç qu'on a données dans les n"'' 29 et 30, on s'aperçoit facilement de l'identité des équations dont il s'agit.

On a ainsi établi une vérification profonde des résultats obtenus relativement aux produits />'e*"'''""' et /)'^e'""' "'; mais ce qui est le plus important, c'est que cette vérification entraîne celle d'une grande partie de nos développements exposés dans le livre présent. Ce principe étant trouvé légitime, il ne paraît pas nécessaire de vérifier, par le procédé indiqué, toutes les formules du numéro précédent, vu qu'elles sont obtenues indépendamment par deux .personnes.

Une dernière remarque: si l'on admettait les notations

w =^ co — G; îô' = co' — (t",

on pourrait changer, dans toutes les formules du numéro présent, v en v , v' en v' et a/ eu w

61. Nous allons maintenant chercher les termes dépendant, et des fonctions diastématiques, et des fonctions auastématiques. Le principe de leur calcul étant fort simjile, on les obtient sans peine: cependant, jiuisque leur nombre est très grand, en considérant tous les termes jusqu'au cinquième degré inclusivement, leur exposition causerait un travail assez considérable, si l'on voulait mettre en évidence tous ces termes. Mais heureusement, il y a seulement un nombre plus restreint de ces ternies utiles à nos recherches, tandis que les autres deviendront insensibles dans l'expression des inégalités. Parmi les termes exerçant une influence sensible.