Première Partie. Livre II. ;2S

il y en a un certain nonil)re du deuxième degré dépendant du jjroduit d'une fonction diastématique par une fonction anastématique; il y a encore des termes très importants du troisième degré, dont les coefficients sont formés, ou par une fonction diastématique multijjliée par un facteur du second degré par rapport aux fonctions anastématiques, ou par une fonction anastématique multipliée par un facteur du second degré relativement aux fonctions diastématiques. Parmi les termes du quatrième et du cinquième degré, il y eu a seulement très peu qu'il faut considérer: ceux-là sont principalement les termes devenant élémentaires par l'intégration. Je commence par m'occuper des termes du premier et du second degré.

Il s'agira d'abord des termes provenant du développement des produits j cos, nH et ]' cosnH, où l'on peut mettre v — v' ou v — v' au lieu de //, vu qu'on ne tiendra compte, à cette occasion, que des termes du premier degré par rapport aux fonctions anastématiques.

En employant toujours les notations

on aura facilement, en vertu de l'expression (49) du n° 23, les suivantes:

(15) ^, = / sin (v — ,y — (iJ — 0)) ; ;/ = /' sin (v' — ,y' — {i>' — 0')), ou bien celle-ci :

^ i.,^jrg-i(i.'-W)4-i(v'-iV)-(-'(v-v')

}i,/7g.(fi-«)-nv-,v)-,(v-V)^ (16') 5' = — 2 ?7'e-"^-"-«'>+'"''-'''' + l i/V<^-'- «■>-'''■-''■'

l.^'g-id'' -«■)-!- Kv—rj-tCv-Y')

288 Traité des Orbites des Plauètes.

De ces expressions, on tire immédiatement, en considérant les formules (9, 0,0,0) et (9', 0,0,0), les termes du premier degré par rapport aux fonctions anastématiques. Les voici :

(t) Termes du premier degré.

(l 7,0,0,, ,0,.) ,em(v-v') ■ ■^g-,(l'-H)4-,U« + ,)v-„V-„»'-,yj

+ - //e'(-'-'-«Hi|("-l)v-nV-mi' + ,V]

( I 7, 0,0,0,,,,) j'e'"^^-'' = — \ ,;-/'e-Hi'-«')+.l— ("-i)v-(-iw-.r]

I 1 ;j'g!(i-'-W') + .|«y-(n + l)V~(n + l).i' + .rj

(17', 0,0,, ,0,,) ,e"Kv-v) ^ ^ . jg,-(C.-«)-i[„v-(„ + „V~(« + I),i + ,V]

( I 7', 0,0.0,,,,) jV""-'-' = — l ,-7'g-^-(/?'-«')-.[(»-i)v^-,r-,„.+,r]

Evidemment, la dernière de ces formules résulte immédiatement de la première, en y changeant i en j', v en v', v' en v, V en V, I en /', Q en Q,\ 0 en 0' 55' eu ôJ, ^ en ^' et w en — n. De même, par les changements mentionnés la troisième formule dérive de la deuxième, et vice versa.

Maintenant, pour avoir les termes du deuxième degré, il faut d'abord considérer les relations