Première Partie. Livre II. 31i

iVoù il découle:

pT = / cos L .p cos [n (v — v') + mv'] — l siii L p sin [n (v — v') -f" ™^' ],

ainsi qu'une formule analogue de p'2\ il suffira, pour arriver au résultat cherché, de prendre, des formules que nous venons d'exposer, le terme appartenant à l'argument dont il s'agit, de multiplier son coefficient par l, et d'ajouter à son argument l'angle L.

Ainsi par exemple, s'il s'agit de mettre en évidence les termes du troisième degré à caractère diastématique «'obtenant de l'expression de cos jH, et dont la partie de l'argument qui dépend de v et V sera v seul, on trouvera tout de suite l'expression que voici :

^ cos 7// = — ! r/{P + /") cos [v — 03' — (77' — Z")] fi'

+ ^ rfP cos [v + ûi — 2// + [Tt- — T') — 2 {ii — 8)] + \ri-r' cos [v + -o' — 2,y + {t:- — F') — 2{ii' — 8')]

+ 1 r/ir cos [v — w'— ë+7^'— {Tt'—r) — {ii—e) + {H'—s')']

+ l Tj'ir cos [v — ô) + ,y — H'— {-'—F') + {ii— (■)) — {ii'— ft')]

— l Tj'ir cos [v + ûi'— » — »' + (-'— r') — {ii — S) — {ii'— (■)')] .

On se convaincra facilement, en inspectant les formules exposées précédemment, que les termes omis dans l'expression de cos jH que nous avons donnée dans le n° 50, ne contribueront eu rien, en ne considérant que la première puissance des fonctions diastématiques, aux termes de la forme envisagée.

En étendant les procédés que nous venons d'expliquer aux termes d'un degré plus élevé que le troisième, il y aurait très peu à ajouter aux règles précédentes. S'agirait-il, par exemple, des termes du quatrième degré par rapport aux fonctions anastématiques et du premier degré relativement à 7j ou à y/, on les trouverait tout simplement, en introduisant, dans les expressions du quatrième degré du n° 50, les valeurs précédentes de cos2v', cos(v — v'), etc. Mais si l'on chercliait des termes affectés d'un facteur

320 Traité des Orbites des Planètes.

diastématique du troisième degré, il faudrait d'abord qu'on mît en évidence les termes du troisième degré des fonctions cosv', cos(v — v'), etc. ce qui s'effectuerait en introduisant, dans les formules (12, 0,0,3), ■ • • des valeurs spéciales de n, et en ajoutant aux arguments certains multiples pairs de v. Après en avoir trouvé les l'ésultats, les termes demandés s'obtiendraient comme auparavant.

Il pourra se montrer avantageux, à certaines occasions, d'exprimer les cosnH de la manière que nous avons indiquée dans le numéro 51, c'est-à-dire, au moyen des fonctions 3 et 3', de leurs dérivées et des fonctions ti'igonométriques des multiples de l'angle v — v'. Pour opérer, dans les expressions qui se présentent aloi'S, les transformations destinées à remplacer l'argument v' par V, ainsi que pour établir les expressions des produits ^j2gîn(v-v)^ etc., il serait utile de s'être procuré un tableau renfermant les expressions transformées de tous les produits dont il s'agit. Mais comme un tel tableau se dresse presque immédiatement, en vertu des formules (20) — (26) et (39) — (40> .1^ ™^ dispense de le communiquer.