LIVRE TROISIEME

Développement de la fonction perturbatrice.

Dans les équations différentielles dont l'intégration porte sur la détermination des coordonnées d'une planète comme fonctions du temps, on donne, avec Lagrange, aux composantes des forces troublantes la forme de dérivées partielles d'une seule fonction nommée fonction perturbatrice. Cette fonction, symétrique par rapport aux coordonnées des diverses planètes et ne dépendant, ni immédiatement du temps, ni des dérivées des coordonnées, est néanmoins d'une nature tellement compliquée qu'il n'y aurait aucun espoir de parvenir aux intégrales des équations du mouvement, ni même à des valeurs approchées de ces intégrales, si Ton voulait retenir les dérivées dont nous avons parlé sous leur forme primitive. Il en naît la nécessité de développer la fonction perturbatrice d'une manière telle qu'on en puisse détacher les termes exerçant l'influence la plus considérable et qui, nùs au lieu de la fonction totale dans les équations du mouvement, les rendent intégrables au moyen d'approximations successives.

Déjà, plusieurs méthodes d'effectuer le développement dont il est question sont mises en usage; mais, de ces méthodes, il faut, lorsqu'il s'agit d'établir la théorie absolue d'une planète, éviter toutes celles qui n'ont pas le caractère purement analyti(]^ue. Il faut, en d'autres mots, pour atteindre le but proposé, éviter les procédés d'interpolation et se restreindre à n'employer qu'un mode de développement tel que les diverses quantités variables d'où dépend la fonction perturbatrice, les fonctions diastématiques et auastématiques non moins que les fonctions trigonométriques ordinaires, soient mises, algébriquement, en évidence.

Parmi les méthodes ])urement analytiques maintenant en usage, il suffit de mentionner celle de Laplacr, notablement jx'rfcctionnée par PorssoN

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et Leverrier; celle de M. Newcomb, laquelle, au fond, repose sur le même fondement que la raétbode de Laplace; la méthode de Hansen et finalement la méthode de M. Backlund qui dérive du même principe que celle de Hansen, et qui offre, au calculateur, au moins les mêmes avantages que celle-ci, mais dont le mécanisme parait plus simple que les procédés de Hansen.

La méthode c[ue je vais employer dans l'ouvrage présent, offre les mêmes avantages que les méthodes de Laplace-Leverrier et de Newcomb; mais elle n'est en même temps aucunement inférieure, ni même au point de vue du calcul pratique, à celles de Hansen et de Backlund, notamment si l'on emploie les tables de M. Masal;' elle tient, pour ainsi dire, le milieu entre les méthodes énumérées. J'en ai donné d'ailleurs, il y vingt cinq ans, un aperçu rapide.'

Mais avant d'entrer dans l'exposition du détail de la méthode dont il s'agira, je vais rappeler certaines propriétés de la fonction perturbatrice qui nous seront utiles dans la suite.