CHAPITRE I

Géncyalités sur la Fonction perturbatrice.

64. La fonction perturbatrice étant formée par une somme de termes tout à fait semblables, on pourra examiner ses propriétés essentielles et exécuter formellement son développement en ne considérant que des formules relatives à un seul de ces termes. Néanmoins, il sera utile de mettre en

' Masal, Tables de l'intégrale / '- — ~ — - . [Astrouomiska iakttagelser

J (1 — o" imfy

och uudersijkuingar pâ Stoekliolms observatorium. Vol. IV. 1891.] " Astrouomisohe Naclirichten. Vol. LXX. 186S.

Preiuiùre Partie. I./ivie IJI. 323

cvideuce, tout (Valjord, l'expression complète de l;i tonction perturbatrice, vu qu'on doit tenir compte simultanément, dans le calcul des inégalités du deuxième ordre ou d'un ordre plus élevé par rapport aux masses troublantes, (le plusieurs des termes mentionnés.

Prenons pour l'unité des masses celle du soleil, et désignons par )«„ , m^ , • • • les masses des diverses planètes a , h , . . . . Posons ensuite, en désignant par /" un facteur constant inaltéré pour toutes les planètes et dépendant des unités de temps et des distances qu'on a choisis:

K = fi'ia . Ih = O'h , ■■ • ;

désignons par .r„ , //„ , ~"„ , ,-r,, , . . . les coordonnées rectangulaires rapportées à des axes fixes se coupant dans le centre du soleil, et admettons finalement la notation

,, __ ,1 I XA-n + ykVi + Zk^i I

1 ((.fA — ■lu? + {'.h - .'/;)' + («A — z.Yf \.v', + •;/; + z]]- I

Cela étant, la fonction perturbatrice complète relative aux forces troublantes qui sollicitent la planète a sera:

/4 = -'4,. + fi.,,0 + -'4,,/ + ■ . . •

On écrira de même :

etc. ; et on aura, en admettant les notations:

Ma = f{^ + '"„); Ih = /■('+ iih); etc.

''l = ■'■;; + ijl + sl\ n = XI + ni + zl\ etc.,

les équations du mouvement:

in' "^ ri 3'U '

dir "•" ",.;; ~ Si/, '

Traité

Orljik's (k'S Phiuètes.

Dans la suite, lorsqu'il ne sera pas nécessaire de distinguer les différents indices, on pourra, en considérant une planète quelconque A: attirée par une autre /, omettre ces indices et écrire x' , y' , z' au lieu de x, , iji , Si, en sorte que l'on aura:

;^ + 7 "- atT '

(l) <jjl A.'^ ^^

^ ' df "*" r' ^' d;i '

d^z HZ __ dQ di- "*" r' ~ dz ' ainsi que l'expression

(cx + Il II 4- ^^

v — x)"- + (//— li)-' + (z-zfY En admettant encore la notation

lexpressiou de la fonction ii sera donnée par la formule

I I XX + nif + zz I

65. Dans ce qui précède, la fonction perturbatrice a été exprimée comme fonction de coordonnées rectangulaires rapportées à des axes fixes, mais cette fonction s'exprime aussi moyennant des coordonnées relatives à des directions variables. En effet, si nous désignons par c , 57 , s", ç', fi -, C les coordonnées rectangulaires des planètes A: et /, ces coordonnées rapportées à un plan mobile passant par le centre du soleil, et que nous supposions qu'on ait:

(II

X = a^ -{- pYj + )\ ,

Prciuirie l'artic. Livre JII.

nous aurons, après un (-alc'ul très tïuàle:

x-r^' + un' + -"' -= ^c' + rjr/ -\- :^

is-?y + (yi-r/f -^i^-'Cr^

relations, dont la vérité est, du reste, ininiédiatenient manifeste.

Mais considérons encore un troisième système d'axes rectangulaires et mobiles ayant aussi l'origine dans le centre du soleil; désignons les coordonnées de la planète / rapportées à ces nouveaux axes par ç\ , y]\ , C» t>t admettons les relations

(III

En Comparant ces expressions des coordonnées .*', y' , (II), on obtiendra sans ditïiculté les é(|uations

avec les expressions

(IV

A , A^ , A., , 7), etc. ayant la signification signalée dans le ii° 54, notannnent dans les équations (3), (3') et (3").

Entre les dérivées partielles de la t'ouction perturbatrice relatives aux coordonnées des divers systèmes, il existe quelques relations utiles à rappeler.

Ou obtient d'abord celles-ci:

diJ d.Q , ^ dQ , dQ

a. y dQ , d!i di>

dij 'a,- ' ' ' dYj ' ' ' ar

32(i Ti-aitù des Oi-hitts; des Planètes.

d'où l'on tire lu suivante:

d.Q , d.Q , d.Q ^d.Q , dn , ^d«J

(4) ^T + ^^ + ^T = S7 + '^s, + ST •

Ou déduit encore des relations sigualées, en ayant égard aux expressions (c), (c'), (c") du n° i6, les suivantes:

ai?

^aT =

/.ai?

ai?

'^aT

ai?

/.ai?

alA

ai?

ai?

/.ai?

ai?^

d'oîi il découle, réciproijuenient:

ai? ai? / ai? ai?. , / ai? ai?\ , / ai? ai?.

,ai? .ai? „ / ai? ai?^ , ^ / ai? ai?\ . „,' ai? ai?

,ai? .ai? - / ai? ai?> / ai? ai?N / ai?

'a; - 'J: = '^A-^'aT - '^^.) + '^^ V i. - -"a^j + /^l'^aT "

ai? ,ai? / d<2 ai?\ , / d<2 ai?\ , / ai? ai?

'aC ajy n a.'/' a.e/ ' '\ a.r aa ,' ' y' d: du

Passons maintenant aux relations où figurent les coordonnées polaires des deux planètes. Nous admettons, comme auparavant, les expressions

X = rcos/'cos/, x' = r' cosb' cos/',

y = r cos b sin /, !j' = >'' c'os b' sin /',

z = r sin b, z' --= r' sin i',

.r.r' -f- y///' -|- ~"^' = '■''-' cos //,

ce qui nous donne, immédiatement:

(6) ■ A' = r- + r'- — 2rr' cos//,

Première Parti

Avec les expressions sionalées, on parvieut facilement aux relations suivantes entre les dérivées ])artielles:

dr dx ' •' d,/ ^ iz

dQ dii

-r = — ■ '■ sni 0 cos l /' sm ii sni / \- r cos /> — ,

dh dx dtj dz

ainsi qu'aux relations inverses que voici siii l dû

dx ^

+ cos / r cos 0 — — sin />- , \ , I dr dh I

I r fos II sni ^— r .

coft h dl.

cos / ai> , . , I ,

— ; -p + sm / r cos h cos b dl d

dû . , dû , , dû

■ — =7' siu II h COS ù -r ■

dz dr dh

On déduit encore les formules données ci-dessous, dont la première n'est qu'un simple renversement de la deuxième des é([uations (S):

dû

dû dû

dji dz

dû JÛ ^•^ dz " dl/

sui h siu l dû , dû

ï r — COS / -- ,

cos h dl dh

sin h cosl dû , . ^dû ; r + sm ' -r •

COSO dl dh

66. Figurons-nous maintenant qu'on veuille choisir les coefficients c! ,/?,/-, c<, ,..., ot', ;9', .. . de manière à avoir toujours:

ce qui amènerait la nécessité de déterminer les coefficients dont il s'agit conformément anx règles du deuxième chapitre du premier livre. Nous aurons alors:

ç = r cos r ; ^J = '' ^i'i i' >

c, = r cos r ; ^/i = >' ^^i" ''' ,

328 Traité des Orbites des Planètes.

et nous parviendrons, en vertu des équations (IV), aux expressions

■ — r' 1/ir.c d^' — y^ cos 2" — siu (('' — 2") sin 2' cos J\ ,

(lO)

;■ cos y

r/ = >•' j cos (r' — 2") sin 2^ + sin (c' — 2") cos 2' cos J } , C ^ — r' sin ./sin (ti' — 2")-

En mettant, dans les équations (8) et (9), ç , )y , C et v au lieu de .r ,y,z et /, ainsi que (/j au lieu de co^bdb, et en faisant finalement Cégal à zéro, on aura tout de suite :

(II

^Si2

et puis, les relations récijjroques :

(II'

dii

\- COS v — ,

)■ dv dr

l dr

cos V dii , . dii

+ sm V — .

r dv dr

Après avoir obtenu les relations précédentes enti'e les dérivées partielles, nous allons en chercher les expressions qui, du reste, dérivent très facilement des différentes formes par lesquelles on a représenté la fonction perturbatrice Nous aurons, en effet, par l'équation (2):

dii

dii dy

dii

ri"

et nous obtiendrons des expressions tout à fait analogues, si nous remplaçons, soit dans l'expression de ii, soit dans les équations (12), x par f, y par rj et ^- par s'= o. Il viendra ainsi: