I -f Tjdvdr '^ ^ dr ^ \ ^ (I + !/)' \dv) r 3h

Mais dans cette formule, il faut encore exprimer la fonction C' îiu moyen de 3, de 3' et des dérivées de ces quantités.

Pour y parvenir pi-omptement, considérons les équations suivantes qui découlent immédiatement des formules (18) du n° 53:

l'reiilière Partie. Livre III. 331

siu J siu 2" = sin ï sin (e — G') cos (e' + 0')

— (ces l siu ï' — sin ï cos ï' cos (G — G')j sin (G' + 6"), sin J"cos 2" = — sin l sin (G — G') sin (G' + f^")

— (cos ï sin ï' — sin i cos ï' cos (G — G')) cos (G' + G'). Ou eu tire:

sin i/ siu (;/ — 2") = — .sin i sin (6 — G') cos (v' — G')

— (cos i sin /' — sin l cos ï cos (G — G')) sin (v' — 9') ;

et maintenant, si nous rappelons Fexpressiou de cos (9 — G') que nous avons donnée dans le u° 51, que nous remplacions cosi' par la valeur

I — - sin ^'■(I + f), que nous introduisons:

sin i sin (v — 9) = ;, ; siu l cos (v — G) = -'-f- ,

sin i' sin (v' — G') = ,5' ; sin l' cos (v' — G

I + ;/ dv' '

et fiualeiuent, que nous mettions lo résultat ainsi obtenu dans la troisième des écjuations (10), uous aurons:

— = cos il — X cos (v — v ) -j z -- sua (v — v )

+ ;.'(' + ni

du du'

cos (v — v')

%fw ^ du

sm v — v

332 Traité des Orbites des Planètes.

Avec cette expression, ou obtiendra de l'équation (17J lu suivante

d<J I d\ S.y , rd!J a« ~ I + j/ (

'■- ~ ■ ^'dvdu + '5 dr + n ' ~'^'

(I + 7j)\dvJ /ah

[, cos (v - V') - ;p^ I siu (v - V')] V

(,1 + (/)' \dv/ rfh

rfy dv

cos (v — v')

:lv'

ce qui est la formule demandée

5iu(v — v')k/

(I + jYUvJ dh '

67. Lorsqu'il s'agit de développer effectivement les dérivées de la fonction perturbatrice, on pourra opérer de deux manières distinctes. Ou les trouvera d'abord eu développant les diverses expressions que nous avons mises en évidence, dans le numéro précédent, mais on les obtiendra aussi au moyen de différentiations directes, si l'on a établi, préalablement, le développement de la fonction perturbatrice elle-même.

Nous allons prochaiiiement développer la fonction perturbatrice dans une série trigonométrique procédant suivant les multiples de l'angle H. Par cette opération, on obtiendra d'abord les divers coefficients comme fonctions de ;• et de r'. Mais jjuisqu'on va exprimer, finalement, r au moyen de la fonction p et, r' au moyen de /?', il conviendra d'effectuer les différentiations par rapport à ces dernières quantités.

Admettons le développement

(19) iJ = [\ + 2 l\ COsiï + 2 fr cos 27^ -f . . . ,

les U„ s'exprimant au moyeu de la formule

ou bien par celle-ci:

{fi u.=?; + ^,+ . ,

les A„^ ainsi que les B„, étant des fouctious de r'