Première Partie. Livre III

Celii étaut, .si les U„ étaient développés suivant les puissances de (/') ' ip') ' ' '^^ ^'' "ous obtiendrions la dérivée partielle par rapport à p moyennant la formule

(26) — = -7 -V + 2 — --!-C0s// + 2 ' -^COS 2// + ....

La 'dérivée partielle par rapport à v se trouve immédiatement en utilisant l'expression

opération qui exige, toutefois, que les cosnll soient donnés par les formules que nous avons rassemblées dans le n° 50.

Mais on jiourra au.ssi parvenir au résultat demandé en employant la formule (7) du n° 49. On aura, en vertu de cette relation:

(28) ii = TT„ + 2 f/j cos w + 2 fr cos 2W + . . .

où l'on a écrit, pour abréger un peu, \v au lieu de v — v'. Maintenant, nous remarquons que la relation

est visiblement légitime, ce qui nous permet de conclure l'expression suivante:

(29) -^ = — 2 U^ sin w — 4?^ sin 2\v — ...

dv

33G Traité des Orbites des Planètes.

Les dérivées partielles des fonctions V'',, „, s'obtiennent aisément en vertu des formules indiquées dans le n° 49. On aura, en effet:

— 4 sin w ; '- = o

' dv

av = °;

dv

1 2 sin w

df'h

dv

I 2 sin w

etc.

Quant aux dérivées partielles des fonctions /; , A^, . . . , on les obtient en différentiaut l'expression

h = sin /'(i + f) sin (v — e) sin (v' — e)

— - sin i' ( I -}- f ') sin (v — 9') sin (v' — e')

+ - sin i' sin y'''( i + f)( i + f) cos (e — G') sin (v — e) sin (v' — G')

[voir les formules du n° 51] ainsi que les puissances de cette expression. Dans les cas, en effet assez fréquents, où l'on peut égaler h à h,, [voir éqv. (4) du n" 47], on emploiera tout simplement les expressions (5, a), (6 , a) et (6 , b).

Eu différentiaut l'expression précédente de b, il viendra:

— — — - sin i\i + f) cos (v — e) sin (v' — e)

— - sin /''^{i -\- f) cos (v — 9') sin (v' — 9')

+ - sin i" sin T' ( i + f)( i + f) (^os (G — G') cos (v — G) sin (v' — G')

Première Piirtie. Livre III. 337

d'où l'on tire, p;ir un calcul tout à fuit seniljlable à celui du n° 51: ah r r I + f (i^ I + f , rfj' 1 , ^

' ' ' ' •■ 1^' ' •r)(i + ,</)'^ \''w/ t/^ "" dv]

^ (I + fXi + f)

En ne retenant (jue les ternies du second degré, on aura:

formule qu'on obtient aussi eu différeutiant, par rapport à v seul, l'équation (10) du n° 51, et en éliminant la seconde dérivée de 5 au moyen de l'équation approchée

Il est en effet visible, par l'équation (55), du n° 23, c[ue la somme formant le premier membre de l'équation indiquée ci-dessus est une quantité du premier ordre par rapport aux forces troublantes.

Quant aux différentiations directes par rapport à ;; ou v, il faut remarquer qu'on doit les effectuer avant le changement de l'argument v' en V, et avant avoir remplacé p ])ar son expression dépendant de l'argument diastématique.

68. La dérivée partielle relative à cos // s'obtient en différeutiant les divers termes du développement (19). Mais il faut y remarquer, toutefois,

la formule

d cou nH siu 11 H

d cos H sin H

qu'on obtient sans difficulté.

Traité des orbites absolues.

338 Traité des Orbites des Planètes.

Eu vertu de cette formule, on obtiendra, si n est un nombre pair,

~7u^H~ ^ 4«*[cos7:/ 4- COS37/ + . . . + cos(2»» — i)F],

et si « est un nombre impair:

d cos(2m + i)H

d cos H

= {2ni, + l)[l + 2 cos 2//+ 2 COS47/ + . . . + 2 COS2Hi.i7].

Après avoir différentié réquation (19), il en résultera, en considérant les relations établies tout à l'heure:

+ 2[4U^ + SU^ + I2f7, + ...]cos7/ + 2[6U„ + lof/j + 14IL + . . .] cos 2// + . . . .

Mais cette formule se transforme aisément de manière qu'elle paraît développée suivant les puissances de h . Pour cet effet, il ne faut que substituer les valeurs de cosnH tirées de l'équation (7) du n° 49.

Admettons qu'on ait obtenu ainsi le développement

(32) ^^=^W,+2W,h + 3Wy + ...,

les W étant des séries trigonométriques procédant suivant les multiples de l'angle w, et dont les coefficients sont certains développements linéaires des fonctions C7, , U^ , . . . Nous aurons, en effet, par les opérations indiquées, les expressions suivantes, auxquelles est jointe celle de W^, dont la signification sera élucidée prochainement,

W^ = [/„ + 2 U^ cos w + 2 C/j cos 2w + 2 U„ cos 3W + . . . ,

TF, = 2f7, + 611 + loU. + 14IL + . . .

+ jSr/, + lôf/, + 24 f'; + îcosw

+ {12^3 + 20l\ + 2SIL + . . .}C0S2\V

+ {i6f7 + 2^11^^ + 32[r + . .JC0S3W