Première Partie. Livre III
^, = 4f^, + r-i', + io8f^, + 2S6U^ + ...
+ {24L/3 + i2o[/., + ,336^^, + 720U,^ + . . jcosw + J48t/^ + 192 U^ 4- 480^7^ + . . .}cos2w
W^ = SIJ.^ + 120^, + 672 r. + 2400^, + . . . + \à4U, + 5760; + 2^6oU^ + . . .jcosw + { lôof/j + I I 20IL + 432of/,, + . . .} COS 2W
etc.
La relation
d COS H ah
nous fournit immédiatement un autre mode d'exprimer les fonctions W. On conclut, en effet, facilement que l'intéçrale de l'équation (32) peut se mettre sous la forme
(33) . ii= W„ + TF,h+ W.X+ ...,
W^ ayant d'abord la signification d'une fonction arbitraire. Mais alors, on trouvera, en comparant l'équation (33) avec l'équation (28): quant à TF,,, la même expression que nous venons de signaler, et pour les autres fonctions W, les valeurs suivantes:
(34, ^) W, = 2{ ¥,,, Il + V'-,., f/3 + V'V. lh+ ■■■],
etc.
On en pourrait retrouver les formules numériques que nous venons de signaler, toutefois après avoir étendu, un peu, les formules du i\° 49.
Mais bien (|ue les expressions données suffisent aux théories des grandes planètes, je vais, néanmoins, chercher un autre mode de représenter les
340 Traité ries Orbites des Planètes.
fonctions W, et j'ol)tien(lrui eu même temps une nouvelle métlioile d'évaluer les fonctions '/'"„ ,„ , ce qui pourra être de quelque intérêt théorique.
69. En se rappelant l'origine des fonctions TF„, , on s'aperçoit sans peine du fait que les coefficients numéi'iques des fonctions U„, entrant dans les divers W,„, ne sont aucunement dépendants de la nature de la fonction i2, pourvu qu'elle soit une fonctiou holomorphe de cos H . C'est tout le contraire: chaque fonction de cos H qui se développe dans une série de la forme (19), peut aussi être représentée moyennant un développement de la forme (33). Les entiers figurant comme coefficients des divers développements dont il s'agit maintenant, restent constamment les mêmes, seulement les U„ changent. Par cette remarque, on obtiendra les entiers demandés en développant une fonction quelconque de cos H, ce qui donne lieu à considérer une fonction dont le développement s'opère dune manière aussi facile que possible.
Dans ce but, supposons que la fonction ii ait la forme assez simple:
ii ^{i — 2y?cos7/+ /?■'}"'; alors, les fonctions U„ seront données moyennant la formule générale
D'autre part, si nous posons:
(I — 2/îcos w + jï'y"+^
la fonction ii sera représentée moyennant la formule {33). Maintenant, si nous admettons le développement
(35) Tf„ = Tn"" + 2 TFi"" cos w + 2 TFi"" cos 2w + . . . ,
les coefficients TF^''"' étant des fonctions de "nombres entiers et des fonctions f/„, nous aurons généralement:
W(m) = f -, oy. I (w+i)(m + 2)...(m-hi/) m + 1 (m+ i)(m4-2)...(w + v-n) ^.,
(m+ i)(m + 2)(m+ i)[m-k- 2)...{m + v + 2) ^^^ | "■ Ta \.2...{v + 2) 1^ "*"'■(•
