Première Partie. Livre III

Mais CL'tte e,\pre.s.sion s'écrit aussi de la manière suivante;

m+ 1 m + V+1 I VI + 2 m. + v+2 ]. , |

d'où l'on conclut, en considérant l'expression de U,^, que les coefficients du dévelo]jpeinent

(36) w^"'^ = Triu. + T:r,u„„^,, + ...

sont donnés par les expressions

riim,» (w-+ i)(m + 2) . . . (w + v) ^„, " I . 2 ... 1/

rpm.v (^* + ' )(*" + -) ■ • • ('» + S') I «'' + ' »'• + 1^+1 I „,

^^^m V «t + 1 H+ l)(m + 2) ■ . . ()». + !>+ 1) piH- 2 ??j, + !> + 2 j ,,^

rpmv (ot+ i){m + 2)(m+ i)(»7. + 2) . . . (hi + v + 2) rm + 3m + i' + 3 i

et». , ou bien, par l'expression générale

1 "V 2, = ^ ^ ' --— Un + V-\- 2 /■) 2 '" .

Cela établi, si nous comparons, avec l'équation (34, m), le résultat s'obtenant par l'introduction de l'expression (36) dans le développement (35), nous aurons les formules générales que voici :

fif rr\mfi

r,„^,^„^ =Tï"'cosw,

'/•„, , , ,„ = ^ T;"'" + T™'- cos 2%\' ,

342 Traité des Orbites des Planètes.

^''„.+3,„. = T^"'' cosw + T^"'' C0S3W,

y'"m+4,™ = ^T-T'" + Tr- cos 2VV + 17'' C0S4W, etc.

Voilà les résultats auxquels j'ai visé.

70. J'entends par le symbole D^, une différentiation qui porte uniquement sur la variable v , tant qu'elle est mise en évidence dans les fonctions (/?) et cos H. Sont alors considérées comme constantes, outre v' et {p)\ les fonctions )ycos(Â' — /'), ly sin (;: — T), Ism{ii — 0), I cos {ii — 0), 3y' cos (-' — /"') , . . . , ^ , ç', 05 et 03', ainsi que les arguments ô) , 55', ïf et />'.

Par la définition, il vient immédiatement:

ou bien la formule suivante:

dQ dQ (17') D,i2 = — + — D,r.

Que les deux formules en effet sont identique, cela se comprend en vertu de la relation (26).

Par l'expression

(^>) = jy cos F , ■*

F étant l'arijumeut diasténiatique, savoir l'angle v — ô) — {- — /'), on obtient sur le champ:

D^(^) = — îy sinF.

D'un autre côté, en admettant la relation

(A) étant une fonction de la même nature qu'on a introduite, dans l'équation (39) du n° 13, il viendra:

dp dR , .

- rfv"~;ï7+ w-