Première Partie. Livre III

En introduisant la première de ces valeurs dans Icnjuation (37), il résultera :

formule qui nous deviendra très utile dans la suite.

Concevons maintenant un terme isolé de îi , savoir :

a = 3i{py cos(nv — A),

où a et A ont la signification de certaines fonctions du temps, ne renfermant pas, toutefois, (/>), ni v. En différentiant ce terme, il viendra:

^ =- sa (/;)=-' cos (nv — A); ^ = — ^'^(pT «i» ("^ — A),

et ensuite:

D^ij =^Jl^^Jl \)^,{p) = — sar/ cos F^' sin F cos (uv — A) — nar/ cos F' sin (nv — A).

Mais puisque la fonction cos F" s'exprime par le développement fini cos F" = Sa^-av cos (s — 2v) F , les a étant des coefficients rationnels, an aura aussi:

cos F'~' sin F = y^ — ;— ^ «g ^2, sin (s — 2 v) F .

Avec ces deux expressions, on tire de l'équation précédente le résultat que voici :

(39) J),fl = — a5^'So(,o„{(s — 2v) sin (s — 2v)F cos (nv — A)

+ n cos (s — 21;) F sin (nv — A)j,

d'où l'on conclut que la dérivée D,i2 ne renferme aucun terme dont l'argument soit exempt de l'angle v multiplié par un nombre entier. En eifet, un tel terme ne pourrait naître que si l'entier s — 2y était égal i'i n,

344 Traité des Orbites des Planètes.

mais dans ce cas, la somme des deux termes eutre les parenthèses serait égale à:

n sin (nF + nv — A) = n sin (2nv — nw — n(;r — /') — A).

Il est donc évident que le terme indépendant de v manque, dans l'expression dont il s'agit, ce qui revient à dire que la dérivée D,.ii ne contient pas des termes sousélémentaires du type (A).'

Dans ce qui suit, nous allons développer la fonction perturbatrice suivant les puissances de ç et de f, de manière que nous aurons un résultat de la forme

(40) a = i4,„ + (i — r/)s-i2,,o + (i — rjyei2,,o + ■■ ■

+ (I + r/'Ol'lV, + (I - r/^)c ^'2,,,, + . . .

Il s'entend, par ce que nous venons de dire, que la dérivée D^ i2 s'obtiendra moyennant la formule

(41) r),i2 = l),.iA,,„ + (i — yj')S D.r^,,,, + . . .

+ (i —rj")ei)Jio^+ , et de même on aura l'expression

7 1 . Avant de terminer ce chapitre, Je me propose d'établir quelques relations entre les dérivées partielles relatives aux coordonnées des deux planètes, relations qu'on pourra utiliser, soit pour les calculs directs, soit pour les vérifications.

' (^,uaut à cette iiotatiou, le lecteur est renvoyé à la page 37.