I + XY 4- Y' V

Il s'ensuit:

l\/(i +XY +

sin 6 =

s/(i + xy + Y

d'où l'on retrouve immédiatement le développement dont il s'agit. Nous déterminerons, dans une section suivante, la fonction (i d'une autre manière.

30 Traité des Orl)itcs des Planètes.

Ayant obtenu les résultats généraux que nous venons de signaler, on eu conclut aisément que les agrégats périodiques constituent des fonctions oscillant entre des linaites variables dont l'amplitude maxima s'exprime par le produit 2(1^^^,, r/^ étant toujours la valeur maxima de la fonction ê''. Or, un tel agrégat, loin d'atteindre à chaque oscillation ses limites extrêmes, à savoir + rti y/.^ et — rt, y'i/., , n'arrive qu'aux valeurs + s, et — s^, que prend la fonction s lorsque X^v + b^ + Û est égal à. des multiples de tt ou

de ^ /T. Mais, à chaque oscillation, l'agrégat périodique passe par zéro.

Après avoir mis au jour ces propriétés des agrégats périodiques qui sont, en effet, les plus essentielles, revenons au cas proposé, où l'on a admis:

Eu introduisant cette expression dans l'équation (4), on arrive à une équation diftéreutielle linéaire du deuxième ordre, dont l'intégrale s'exprime au moyen de la formule

Cj et ("2 étant les deux constantes d'intégration, ~, un agrégat périodique, dont la valeur n'atteint pas l'unité, et v , un coefficient constant, qui peut être réel ou imaginaire, et qui dépend des coefficients «'„,«,,... ainsi que des vitesses /Ij , ^^ , . . . /

Si V est réel, la fonction croît hors de toute limite finie; si au

contraire v est imaginaire, cette fonction passe une infinité de fois par zéro. En conséquence: ni dans l'un, ni dans l'autre cas, la courbe qui représente géométriquement l'intégrale indiquée, n'est une courbe périplégmatique, bien que la fonction // puisse osciller autour de l'unité, de sorte qu'elle ne devienne jamais négative, ce qui pourrait arriver, si par exemple a^ était égal à I .

' Voir mou mémoire: Nouvelles recherches sur les séries employées dans les théories des planètes, § 7.

Piomii'rc Partie. Livre I. 31

7. Une petite modification de rh\'pothèse que nous venons d'étudier dans le u° pi'écédent, nous conduit à l'équation d'une courbe péripléginatique. Admettons, à cette fin,

// = '■-(.-->, P \ Vf

A étant un agrégat périodique auquel se trouve ajoutée une constante.

Maintenant, si nous reraplayons - par i -f />, nous arriverons à l'équation

dont l'intégrale s'obtient sous la forme

C, , C^ , z Qi V ayant les mêmes significations que dans l'exemple précédent. Eu supposant v imaginaire, ce qui est nécessaire pour éviter les valeurs de p croissant à l'infini, le résultat que nous venons de déduire se met sous la forme d'un agrégat périodique, d'où l'on conclut ipie la fonction p oscille entre des limites variables: en conséquence, le rayon vecteur, qui est donné au moyen de l'expression

prend, lui aussi, des valeurs extrêmes dont l'amplitude est variable. Admettons, après avoir mis h à la place de v, les notations

l'expression précédente se changera alors dans la suivante:

I + 7) coBivv -\- V t zdv — r j

32 Trailé des Orbites tles Planètes.

Ou s'aperçoit immédiatement que le rayon vecteur reste constamment fini, tant que la fonction ri n'atteint pas l'unité. Four remplir cette condition, il faut et il suffit que la valeur minima de i + -ï soit plus grande que celle du produit 4CjC.j. Mais, si cette condition est satisfaite, la trajectoire déterminée par l'équation précédente est une courbe périplégmatique à diastème variable, pourvu qu'on ait:

En effet, l'expression précédente de // pouvant être mise sous la forme

oA

Il ^

on eu conclut que cette fonction oscille autour de l'unité sans devenir jamais négative.

Par les considérations précédentes, on a eu l'occasion de se former une idée des deux genres des courbes périplégmatiques : dans le premier de nos exemples, le diastème était constant, dans l'exemple du n° présent, variable. Mais ces deux genres de courbes jouissent d'une propriété commune, qui leur donne un caractère spécial, à savoir celle que leur diastème dépend de telle manière des constantes introduites par l'intégration qu'il s'annule lorsque ces constantes disparaissent. J'ai nommé, dans quelques travaux antérieures, ce genre de courbes périplégmatiques orbites infen>iédiaires, parce qu'elles sont, en effet, très propres à représenter d'une manière approximative les mouvements des corps célestes: les courljes du premier genre, les orbites des comètes dans le voisinage d'une planète, celles du second genre, l'orbite de la lune, ainsi que les mouvements d'autres corps célestes, dont les conditions sont analogues à celles de la lune. Particulièrement, quand les arguments dans l'expression de r se composent de deux éléments, ce mode d'aborder les approximations destinées à faire connaître les mouvements de l'astre considéi'é, est très fertile. Ce cas se présente toujours, lorsqu'il s'agit d'un système de trois corps se mouvant dans un plan unique, si l'orbite du deuxième corps autour du premier, qu'on admet en repos, est un cercle, et que les distances du troisième corps, dont la masse est insensible, à l'un des deux premiers, sont toujours petites par rapport à ses di.stances de l'autre corps.