Première Partie. Livre III

De riiutre côté, si nous (litïcrontious l'cxprussiou de ( "-) , il vient

,r'' — rr cos H

mais puisqu on a :

l'expression précédente se transforme en celle-ci:

d'où l'on tire la suivante:

,A/ *" Si"

En y portant les valeurs de ("— ) et |-^) selon l'équation (i), ainsi que

celle de y donnée par l'équation (26), nous serons facilement, en

considérant les développements (27), conduits aux expressions

m+->,„ ^^ fr'"'" 4- —Y)'"'" ,

j^" + ^^"ni

etc

formules (jui se renqilacent par l'vinique formule

r'li~r -, Il I -y " I • i Y) ' I —I— — V* . '

.188 Traité des Orbites des Plauètes.

Les expressions que nous venons de déduire se prêtant avantageusement aux calculs numériques, les transcendantes ;-"'■" s'obtiennent aisément si les ;-]•'" soxit connus d'avance.

Pour arriver, finalement, aux coefficients numériques du développement général (i), ou calculera, en employant les formules établies des coefficients ii{n , s, s')„,y, mais avec les valeurs des ;-•"" au lieu de celles des ;-•'", les quantités numériques entrant dans le développement

après quoi ou trouvera le résultat cherché en multipliant la formule précédente par

En opérant de la sorte, on se procure l'avantage de profiter des coefficients W.s^v;/ que nous venons de donner dans les deux numéros précédents.

80. On pourra encore se procurer le développement envi.sagé de dift'érents autres modes. On y parviendra, par exemple, en utilisant les développements du n° 68. Voici les transformations nécessaires.

Si l'on introduit, dans l'équation

A y/r' 4- r - — 2rr' cos W

la valeur

cos H = cos w + Il ,

qu'on développe suivant les puissances de h, et qu'on admette finalement la notation

on aura, en adoptant la forme de ré(juation (33) du n° 68, c'est-à-dire, en admettant :

PiemièiT Partie. Livre III.

les expressions

^~2.// v<7 Wi \nr

Ou aura ensuite, par les notations du u° 74, les formules

n'^==]!!i|ryc;^)4 2!:(^)c-cosw + . .1

' a a a \r J n Vc /

dont la première, quand on la compare avec Fexpression de Tl'^, donnée dans le \\° 68, eonduit à la valeur

Maintenant, si l'on se rappelle les équations (35) et (36) du n° 69, et qu'on les compare avec les expressions des fonctions IF,,, et f'„ que nous venons d'établir, on parviendra aisément aux deux formules que voici:

o^'war

390 Traité des Orliites des Plauètes.

En portant, dans la deuxième de ces formules, les valeurs des quau-

tités f-j ( - j Q,lV«+v qu'on a données par k formule (14), et en admettant l'expression

y"'[ii , s , s')„,„ — }'"'(« , s , s'),^„->^' + . .

(34) tf;;">

on trouvera:

(35) r>,s,s')= Tr"i.'(/« + », s,s'),,

Ayant ainsi obtenu les IT',"", ou en déduira facilement les coefficients

du dévelo])pemeut de la fonction

toutefois a])rès avoir restitué l'angle

H au lieu de \v. Ou aura eu effet, en vertu de l'équation (32), la formule suivaute:

Il serait facile de mettre cette expression sous la nu'me forme que nous avons employée pour l'équation (14); cependant, puisqu'eu même

temps on pourra tenir compte d'autres facteurs multipliant les

nous remettons la multiplication algébrifjue par les facteurs ( - j et ( A à l'occasion oii nous ferons Tajaplication de la formule établie.

81. Je vais encore communiquer les principaux traits d'une méthode plus directe que les précédentes pour étal)lir le développement (1). De l'écjuation

Fieiiii('rc Partie. Livre HT. 391

il est l'ucile de conclure, eu reuiphieant tuuj(Hir8 le produit (-) i^\ par I — ;/■, le.s expressions

tvm) mi , "' '*' -V N r "'.{"'+ 2) 1)/ (///-|- 2) j, , ., 1

Cr'=«"->!'^+^^î^^ocX'-/)+ !

et o-éuéralenient :

(38) 0'"> = ^.-.4,.|'"<m + 3)...(m + 2»-2) „,..,(,.+ 2)... (,,^+^.0 ^"^ -* " 2. 4. ..2)/ ' 2 2.4...?li(2i; + 2) ^ ^-^

m(m + 2)m(iii + 2)...(m + 2u + 2) ^ ., 1

Cette équation devant être identique avec la première des équations (27), on en tire le dévelojipenient général

m [un \ fin . \ m /m \ /m