Première Partie. Livre III

Ou formera donc les fonctions

D:;: = s'rwii — ê'rmi + ■ ■■,

ce (jui donne d'alx.ird:

,L P'P' ■ Ensuite, si l'on fait:

on aura, en vertu de l'équation (ii),

après quoi l'expression (41) s'obtiendra immédiatement. Pour obtenir un résultat de la forme

(4^) ( j"ft )" "'t'»"' = ZZ(i>"'(«, s, s')„,„ - ir(.^ s, s'),,or + ■ ■!/'>".

il ne nous reste qu'à introduire dans l'équation (41)' '^^ valeurs de ct,o-^, ... données dans le numéro 76, et à multiplier le résultat par

82. M. ScHEiBNEK, dans un mémoire de l'an 1S53, a montré comment on peut exprimer les coefficients du développement de la fonction perturbatrice, tant qu'ils dépendent du rapport a, au moj'en des transcendantes 13. ' Dans les numéros précédents, j'ai poursuivi les mêmes intentions, .sans les regarder, toutefois, comme l'objet principal de mes transformations. Les procédés du dernier numéro ont abouti à exprimer les fonctions 6"/"' ainsi

que leurs jiroduits par (-) (-) , moyennant les transcendantes /- et »9, qui

' Pour les détails du procédé de M. Scheibner, ou coui5ultera son mémoire: Ueber die Bereclinung eiucr Gattung von Functioneu, welche bei der Entwickluug der Storungsfuiictiou erseheineu. Gotha 1853.

Traité des orbites absolues, 5(1

394 Traité des Orbites des Planètes.

à leur tour se ramènent, par les équations (6), (27) et (28), aux transcendantes ^. Le calcul numérique, si Ion utilise ces dernières formules, est, il est vrai, aisé et conduit aux résultats dont l'exactitude nest pas amoindrie par l'imperfection des formules, mais ces formules ne permettent, 111 étant plus grand que l'unité, qu'un calcul de proche eu proche. Or, puisqu'il pourra être utile de disposer des règles d'un calcul direct, je vais chercher les expressions s'y rapportant.

En mettant, pour abréger, k^ à la place de a - - , de sorte qu'on a :

on parvient facilement à l'expression

(lY (^X Q'--') = ^ l^ji 2A-J cosf + klf^co^n^d^.

Cette formule, se transformant en vertu d'un théorème bien connu de Jacobi, on en tire:

a + 2(ii— I)) «"'+" / / siu ç y

-«-!) ^ J \v/l-2fc,cos?+A-;/

m(m + 2) .. .(m + 2(ii— I)) «"'+" y f siu ç '^^" (?ç

{i^2/r, cosç-f7,-r)2 Cela étant, si nous employons la substitution de Landen, en posant:

cos ^ = A", sin <f -\- cos <f \ji — k'{ siu f- ,

d'où il s'ensuit:

sin f = sin f (y' i — /,■'; sin (f' — k^ cos ^^),

^i 2 A-, coss^-f F; = \Ji —k-Wm<p' — k^ cos ç?

et

di d<p

\J\ — 2A-, cosç -f k\ \jï — k\ siu <f'' la formule précédente devient:

- p(„,) w(m + 2)...(m + 2(w— D) «"'+" / siny^^t^y» k/i — Âr^siny' + A-, cosy |

Pour m égal à Fiiuité, on retombe dans l'expression de C'\j\ que nous venons de donner dans le numéro*74.

Considérons ensuite le cas général où m a une valeur impaire et positive, mais d'ailleurs n'importe (Quelle. Posons 2i)i -{- i au lieu de m et prêtons attention au fait que tous les termes ayant comme facteur une puissance impaire de cos^^ disparaissent par l'intégration. L'expression (43) se met alors sous la forme suivante

im+ i)(2wt-f-3)...(2j» + 2)i— 1)

2a-"'+' + " / Hiu w-"da:> |, ,„ . ,,„ Z / 1 — 77T^ ' —kUm<^ry

H '-—■ '-{i — ki sm f-7" 'k\ cos ^r^ +

Il s'agit maintenant d'obtenir le développement suivant les puissances de — X, car leurs coefficients ne sont autre chose que les transcendantes ^'"'"; et puisque les ternies sous le signe / se mettent sous la forme

; , ce qui est immédiatement visible, les ;- seront exprimés

(l — a'^ siu ^'')'' moyennant les /3.

En inspectant la formule précédente, on voit tout d'abord que les termes figurant entre les parenthèses sous le signe / constituent un polynôme fini eu /, du degré m. On aura en effet:

j(i -/;:;sinçrr +^^^^^^^^A:;cos^'(i -AIsin^7'- + . . .j

= A^ + A["'^x + ^'/"Z' + . . ■ , si l'on admet les notations

j;;») = (i - «^ sin ^^y -f ^^pil«^ cos^^Xi — «' «iûrO'""'

, 2wi(2m — i)(2m — 2)(2m — 3) 4 4, 5 . jw,,-" ,

396 Traité des Orbites des Planètes.

, 2llli2m l) <) ^r / 2 • 2\m— 1

-I ^ — -^ '- oc^ cos çr' — (i — a sm çj" '

-\ a' sm ^ [i — a sin ç- ) "

, 2in(2lll l)(2Wi, 2)(2lll l) 4 iT / 2 • 2\m-"

-^ ^ '-^ — ot cos çr — 2(1 — a sm ^" 7" "

-] a sm^ (i — a smç-)'

,,.,.^ mini 0 .1 • i/ 2 • 2\m-'>

-j ^ — ^ ^ a cos ^^ ' c( sm çr % I — a sm ^' 7"

+ '- f^ -'a^smçr^(i —a sm^-)" ^'J

-A !^ ^ ~ a cosc (i — a sm çr )

— 2 a^smçr^i — a sm çr )

, (m — 2)(in — s) 1 • 1/ 1 ■ ■i\m—i~\

+ - 7^ ^a* smç''(i — a'smçr')'" M

m(m. — l){in — 2) „ .^ __r7^ ^2 .^ ..2\m-3

J'"" = ^ -a sm ç\\ — a^ sm c

A -a Qoac \ — ^ -a smt- (i — a smçr')"

, 2tH(2w— l)(2m — 2)(2m — 3) . Am — 2 „ . .,, „ . .,

' a smçT (i — a .smç^7

, (m — 2)im — 3)(i» — 4) ,. . ,-, 2 . oxm-^n

etc.

Fartiu. Livix' III.

Après avoir reinarcjué que lu valeur m = o rend J',/"' égal à l'imité, ce qui reconduit à la formule (6), nous allons mettre en évidence les formules spéciales des ^-/>"" appartenant aux valeurs vi = i et m = 2, les seules que nous aurons occasion de considérer. Les voici: