Première Partie. Livre III

Les dérivées partielles entrant dans les formules (i), (2), (3) ainsi que dans (i'), (2'), (3'), s'obtiennent de deux manières différentes: ou moyennant des différentiations directes, ou en employant les valeurs

(4) ^ :r^ = — /•* TT + !>■ >>' hrr ^J cos 11 ,

dSJ ' ' I ' ' I ^ ^"^ ^^

*5) s7 ^ -" '''' I A^ ~ r' I ~'dv~ '

Evidemment, de ces formules, les deux premières s'écrivent aussi de la manière suivante:

(4') r ■-"- = — n - ,, + Y t'OS H,

, ,- dSJ dii d cos H

^-^ ' dv ~ ah dv

Avec les expressions signalées, on aura facilement celles-ci:

/ „\ D /' * '',/'« 3 - I • 'I rr

(2") ci= —/--^

dont les deux premières se mettent sous la forme

En introduisant, dans ces formules, le développement (i) du dernier chapitre, nous trouverons les trois fonctions P , Q , li développées suivant

406 Traité des Orhites des Plauètes.

les côsiuus des multiples de H, l'expression de la fouction Q toutefois renfermaut le facteur — — — , qui se remplace facilement par une fonction de V et v', eu vertu de l'équation

3 eos H ... ,\ , 3li ' • = — sui ( V — V ) H .

Mais les séries obtenues de la sorte, on les doit convertir eu d'autres ayant pour arguments v et v' au lieu de //. Daus ce but, on pourra emjjloyer deux procédés différents: soit la substitution des expressions des cosnll que nous avons mis en évidence dans le deuxième chapitre du livre précédent, soit le dévelo])pement suivant les puissances de h , développement que nous avons entamé pareillement dans le chapitre mentionné. Il peut se présenter des cas, il est vrai, où ce développement n'est pas toujours convergent, mais lorsqu'il s'agit des plauètes principales, nous admettons que ce cas n'aviendra pas. Au reste, quant à la légitimité de cette hypothèse, il y a lieu de rapprocher du commencement du chapitre précédent, ce que vient d'élucider M. Tisserand dans son mémoire inséré dans le tome XV des annales de l'observatoire de Paris.

Supposons donc qu'on ait développé, dès le début, la fonction perturbatrice de la manière suivante:

(7) '^i^= w, + TF.h+ wy + ...,

TFg étant ce que devient - il quaud on y met v — v' = w à la place de

H, et les autres TF,„, les expressions des fonctions W,„ du n° 68 qu'on obtient en partant de la valeur indiquée de W^.

Or, en posant, conformément à l'équation (35) du n° 69,

(8) W,„ = T'F';" -I- 2 TFV" cos w + 2 "PF<"" cos 2w + . . . ,

on trouvera:

9 ^ = -^ + 2 —^ cos w + . . . ,

dp dp dp

(10) ^-^ = — 2 TF',"" sin w — 4TF!,"" siu 2w — . , . .

(lO

Preiiiiric Paitio. Livre III.

Cela t'tant, si l'on admet les (k'veloppciiiciits P --= 1><") + p>"h + P-'lr + . .

Q = Q"" + <.>"Mi + Q'--"ir-' + .

K = ir"'+ li'"h + R'-"li- + , . .

ou obtiendra:

air;,'"