Première Partie. Livre III

Eeprenon.s ensuite l'équation (34) du chapitre précédent. En y mettant (p) et (//) au lieu de p et // nous aurons

(19) Tri"" = ZZ|r"'(». , s , .s')o,„- )•"'(«. , s , s'),,„^'^ + . -lipTipr,

équatiou d'où dérive lu formule (16), en mettant dans celle-là vi cgjal à zéro. Par la formule (35) du n° 80, les coefficients )'"'(«, s, s')„„ sont exprimés moyennant des séries procédant suivant les fonctions fi(« + i)i -\- 2p , s , s')„.y, p ayant successivement les valeurs des nombi'es entiers, à partir de p égal à zéro. Mais bien que les séries mentionnées soient toujours convergentes, cette convergence peut être extrêmement lente, d'où naît la nécessité de chercher d'autres expressions représentant les coefficients dont il s'agit. Dans ce but, écrivons l'équation (42) du n° 8 1 de la manière suivante:

G)"(7)"""'c:f'"^'^ = 5:rîi2-(« , s , s-).,»- ir(» , s , so,...^^ + .

+ ir(».,s,s')„,,v^— ...

+ ■ ■ \py>'",

ce qui revient à donner à l'indice m, dans les termes du membre droit, une signification un peu modifiée. En introduisant cette valeur dans l'équation (36) du \\° 80, on obtiendra l'expression que voici:

X^T\ o-{n , s , s')o.o — ir(:ti , s , s'),,,^^ + . . . j//// En effectuant la multiplication ])ar

\i + pj \i +p j

!„ , mlm — I) 4 II ,, , m (m — l) ,< I