Première Partie. Livre III

rûsultut d'où l'un tire, :iprès avoir établi l'équation

la formule que voici:

Qu'on remarque l'analogie, avec la formule (18), de l'équation que nous venons d'obtenir et qui, du reste, revient à celle-là, si l'on fait m égal à zéro. On s'en convainc facilement, en considérant l'équation (35) du n° 80 ainsi que les expressions des coeiîicients T"'f.,,. que nous avons données dans le n° 69. Il en résulte, eu effet, l'égalité

}•> , s, fi'ly = i2{li , S, S'Xy

Admettons ensuite:

(23) ^ Ql/"' = — «Sr |Q"'(w , s , s')„,o — Q'"(« , s , s'),,o52' • • .

+ ■■■lipnp'Y,

et nous aurons, en consultant la seconde des équations (12), ainsi que l'équation (19), la formule

±(s+ i) r"'(«,o,s'Xy

+ )■'"(«, S,s'X^,,„-2 r'"(«, s— I,S'X,., . + 3 )""(/t,S-2,sV,,.— -

+ (s+ i) /■'"(«, o, s V, y Finalement, si nous posons:

(25) ^A Ri"" = {m + i)TT |ir(« , s , s')o,„ - R"'(« , s , s'),,„^^ + . . .

412 Traité des Orbites des Planètes.

lu comparaison de cette l'ormule avec la troisième des équations (12) et avec l'équation (19) nous conduira à l'expression suivante:

(26) E^'"'(>i , s , s'iy = !•'"+■ (« , s , s')„,.' — 2 )•■" + ' {a , s — I , s'),,,,

± (s+ i)f"+\ii , o , s'Xy + }""+'(« , s , sVi.v — 2r"' + '(« , s — I , sViy + 3 >""+'(«. «— 2 , s'X-... — • ■ ■

On conclut encore, en vertu des formules (24) et (26), la relation

(27) R"'(ii , s , s')„,y = Q"' + '(n , s , s'},y;

une autre relation du même genre s'obtient eu comparant les formules (22) et (2-1). La voici:

(28) (,)'"(;/. , s , s'), .,. = - P"'(« , s — I , s')..,„' — TZ^ P"'(« > s — 2 , s')„ .,.

+ sF{n , o , a'iy ± (s + i)(.i"'(/« , o , s%„..

Evidemment, par PJ,"" , QJ"" et lil,"" nous avons désigné les coefficients du développement, suivant les multiples de w , des fonctions (i — 2y'')P""', Q""' et K""', en sorte que nous avons, au lieu des équations (12), les suivantes :

(1 — 52-)F"" =- J'i,"" + 2PV'"C0S\V + 2Py"' C0S2W + R'"" = 11'"" + 2RV"'C0SW + 2lÇ'>C0S2W +

Il faut encore remarquer qu'on pourra identifier la fonction il/j,, de l'équation (13) avec les PJ,"" , ^"'^ et ïi['"\ après quoi on déduira les fonctions il/i,i , y correspondant, en utilisant la formule (14).