Première Partie. Livre IV
Cela étant, nous allons rétablir la valeur de N dont nous avons parlé vers la fin du n° 22, savoir:
en l'introduisant dans l'équation (3), il viendra:
(6) r'±" = JL-
^ ^ dt i +(j'
et, avec cette relation, on tire des équations (5) les suivantes:
^ ~ -^ cos h — e — Cr) -s ,
sm I -r = = sin (t; — 9 — Cr) -- ,
dv c ^ ^ aC
en ayant égard, toutefois, à la relation
or = e 4- G^.
Reprenons maintenant l'équation (55) du n° 23, et introduisons-y les
di dQ
valeurs précédentes de -;- et de -- ; il viendra de la sorte, si l'on remplace
■^ dv dv '-
le produit sin i sin (y — 6 — G") par la notation 5,
,77.+ (■ +!J) 5= 5 — cos.^,
ou bien, en considérant l'équation (16) du n° 66,
(in.) S + C+^ft = ^^^-4f-
L'équation que nous venons de trouver doit être une simple transformation de l'équation (III). Pour mettre en évidence l'identité de ces deux équations, introduisons comme variable indépendante, dans l'équation (III), V au lieu de t.
508 Tniité lies; Orl)iU'S des Planètes.
En coDsidéraut l'équatiou (o), nous aurons d'abord les relations
lit ilvr'\l + ij)
d^ dr
.//'•' dv'r'{l +iiy~'~ do dv r'(l + ;/)' 'dvd-vr''{l +;/)''
en vertu desquelles ou arrive, en partant de l'équation (III), à celle-ci:
(Z'5 II de d
(ni„) ^ + l^l^f + i.+,rU+^^U==^
^ "' V 2 <.■ du du (■ dr
(I +ûrd!i
Mais ])uisqu"on aura, en introduisant, dans la formule (17) du n° 66,
la valeur de -^ selon 1 équation (4),
3/2 I I 'Icdi , d.Q , .C'3/2
dz 2 r'(l + ij)' dvdu ' ac '' ,■ ah
on retrouvera immédiatement l'équation (IHi), en substituant la valeur signalée dans l'équation (IIl2)-
Je vais maintenant indiquer une troisième transformation de l'équation (III); et dans ce but je pars de l'équation (III^)
En écrivant la troisième des équations (12) du n° 66 de la manière suivante:
et en introduisant cette valeur dans l'équation (HI.J, il viendra sur-le-champ:
r Va,- "^ AVI' <■ ^A' rV'
équation qui, en vertu de la première des équations (14) du n° 66, se change' en celle-ci:
(III
d:h , I I dr. d}, . , -N^l , /''•'»■ / I
dn 2 c dv dv ^ c
cos// 3
,'(i + IiV- i I 1 \
Preiiiièrc l'arlic. Livre 1\'. r)()'J
Miiiis revenons encore un moment à ItMiutition (OIJ pour en tirer un résultat ipii peut être mis en usage au lieu de l'équatioti (lllj.
Dans l'écpuition (111,), ou doit finalement exprimer C' moyennant les deux iouctions j et 5', ainsi que par leurs dérivées, ce qui s'opère en utilisant l'expression de ^ donnée au n° 66. En écrivant cette expression
où l'ou a placé w au lieu de v — v', et, supprimé tout terme surpassant le troisième degré, il résultera de la sorte:
d'] T'ii + 7i)c<>sid<J\ / I ,,\ . , I ,'li, \di
^ *^ (lir c. 3h \ n ' / 2 ' (/v d\
, , , - , , , r' c.js i diJ j / I ,.,\ 1 d'. .
^ COS l h , ■
<■ * ah
équation, où Ion peut remjilacer la dérivée partielle " par sa valeur
/i rr
112. Le résultat que nous avons indi(|ué par les équations (3) et (4), et ((ui n'est autre chose que l'éciuation (II) sous une forme un peu modifiée, se retrouve immédiatement des équations (2), de sorte qu'il ne se présente pas de motif d'eu faire Texpositiou. C'est à peu près de même quant à la déduction de l'équation (I), en partant des équations (2); mais puisqu'il y a là quelques points utiles à observer, je m'y arrête quelques instants.
En multipliant la première des équations (2) par ç, et la seconde par
Traité des Orbites des Planètes.
■q, en ajoutaot eutsuite les deux produits obtenus, et en considérant tinalement la première des équations (i i) du n° 66, on obtiendra:
'^'^) ',/r' ' '' df '"\^dt
Ou déduit, d'autre part, les relations
d-r /'''A' ^il'ç , d-r.
dt ^ \dt !
d'oïl il s'ensuit:
Avec cette relation, on tire de l'équation (a), après y avoir remplacé
N par sa valeur g-
drr
J +f/fr
,/dvY
r di
ou bien:
drr dV'
dr '
résultat (|ui, évidemment, est identique avec l'équation (I).
Nous allons maintenant déduire encore une quatrième équation fondamentale qui, à certaines occasions, nous sera très utile. '
En multipliant les équations (2) par -^f > respectivement par -t~ , et en
formant la somme des produits, il résultera:
dç\' td-n.''
(IV
im'-Q)
dt
.7^-^^ j'dt+dTVdt'
dii dç dû dr/ ' dç dt~^ -3^ dt
J'remi(''ie l'arlie. Livic IV. 511
Si Ton y introduit les valeurs
dtj ' \dt I \(UJ ' (i + ijyr"
dr. dç
dJ-^lû-^-^'-
et encore celle ci :
(9) d^ Ji ^ d7i dt ~' \d^ '^ d^ dv' di '
ou obtiendni, après avoir ajouté au résultat obtenu l'équation identique
