W« AT^W

l'égalité que voici :

dt) ^ {i +g)'r^) dQ xd{W^r--) cl{N^Î)

^ 1^ 2 dt ' dt 2 dt ^ dt

dlj d.(Jdr\ d.v jdsj\

a\Jc

di) dr dvj dt dt

Nous apprendrons, dans la suite de nos recherches, que la fonction c s'exprime moyennant un agrégat périodique, ne renfermant que des termes en cosinus, ce qui est, du reste, facile à prévoir. Il s'ensuit que le petit terme que nous venons d'ajouter aux deux membres de l'équation (IV,) pour que son premier membre fût une différentielle exacte, est aussi un agrégat périodique, vu que la fonction Y ne renferme, outre un ternie constant, que des termes en cosinus.

Mais nous allons mettre le second membre de l'équation (FV,) sous une forme nouvelle qui présentera un intérêt particulier.

En considérant les valeurs de — et de .^ données par les équations (24) du n" 20, ainsi que celles de -^ et de t^ tirées des équations (3) du u" 6s, on exprimera facilement les produits -^-^ et -"--rr par les dérivées

'" ^ '^ dç dt dYj dt '■

512 Traité des Orbites des Planètes.

partielles de la fonctioD perturliatrice par rapport aux coordonnées r ,»/, r. Fai ajoutant à la somme des produits mentionnés l'équation identique

qui découle de Féquation (3) du n° 16, on trouvera tout de suite, en regardant la seconde des équations (11) du n° 66, la relation remarquable

d.Qdç dSJ <l-f^ a.y ds dU di/ d<J dz d<J

^ ' °) di Jt '^ d^ dl '^ d^ dt '^ il/ dJ '^ dJ dt^ dv '

Mais par l'équation (4), il est visible que le dernier terme du second

membre est égal à — -^^jy ' *^'^^^ ^ '^^^'^ ^^^ terme que nous avons ajouté, avec signe contraire, au premier membre de l'équation (IVJ, pour rendre ce membre intégrable.

On arrive à ce résultat aussi de la manière suivante.

En considérant les relations

diJdrdv dSJ dr dw • dr du dt dr dw dt

et ensuite celle-ci

on aura sur-le-cbamp:

dv dw '-.r

di=dt-^^

,s /d!J d!J dr\ dv /d.Q dQ dr \ dw ^d y/c

Cette valeur, introduite dans l'équation (IVi), fera détruire, immédiatement, le dernier terme du second membre.

Il convient d'ajouter, à cette place, une formule analogue à l'équation (11), savoir la formule qu'on obtient en remplaçant, dans le premier membre de l'équation précédente, v par la variable indépendante v. En rappelant la relation