Première Partie. Livre I
Après avoir différeutic les relations précédentes, nous en tirons quatre équations différentielles conduisant à des valeurs réelles des quatre fonctions f^ , f 1 , ili" et N. Les voici :
IN
, dd\^, dM
dvf dv
Des deux dernières de ces équations, on déduira t'acilement les expressions de M et de N, qui j^rendi'ont, évidemment, la forme d'agrégats de termes du type {A), pourvu que f[v) et 0 soient de tels agrégats. Les fonctions 31 et N étant connues, ou aura immédiatement, soit les produits Çgf{v) et <fj\v) qui entrent dans la formule (34), soit les fonctions (f^ et ç, , dont on n'aura, cependant, pas besoin. Il serait facile d'étendre l'application de la méthode exposée aux cas de plusieurs termes entrant dans l'expres.sion de B,.
12. 8i la fonction R contenait des termes dépendant des fonctions // et h , les méthodes que je viens d'expliquer, dans les derniers numéros, n'amèneraient des résultats qu'au moyen d'ajiproximations successives; pour arriver directement au but, voici la manière de procéder.
Keprenons l'équation (24), après avoir effectué la différeutiation du dernier terme de son premier meml^re. Nous aurons ainsi:
, , d''u , d-k , fdii, dci , di/, dh\
^•^ ' ' dv ' dv \dv dv dv dv J
et si l'on y introduit les valeurs de //, et de 1/.^ ([uo nous avons présumées dans le n° précédent, il en résultera:
44 Traité des Orbites des Plauètes.
cos d''y^„+ sin ff V^! /'( (.') cos ( I — ç) V
+ — siii ^ T^ + COS ^ -^, / ( (M sm ( I — àv dv dv-y^' ^ '
+ 2 j /■'(«) cos ^—(^I — C + ^^j/Xi;)siD^^COs(l —Ç)V
+ 2 j- /"(iO 8iu^- (i - c + |J)/-(.) cos^[|sm(i - ç)v
+ ,l/'(,-),iu^+ (i -c + ;[^)A^')cos^|';|Jcos(i -ç).
+ , j/-'(,) cos^- (i - r + ;^)/-(") si"^j;|^siu(i - ,)v = n.
Quelle que soit la fonction Zî, nous supposerons toujours qu'elle ait la nature d'un agrégat périodique du type
e cos ((I — c) '^ — -E) ,
s cos E et £ sin i? étant des fonctions du type {A), c'est-à-dire, des fonctions s'exprimant au moyen des termes du type [A). Donc, si nous posons:
R = S cos ( I — <r) t' + ) " sin ( I — ç)v ,
E et }■ seront des fonctions du type [A).
En introduisant cette valeur de B dans l'équation précédente, et en égalant séj)arément à zéro les coefficients de cos ( i — ç)v et de sin ( i — c) v, on parvient aux équations
f{v) cos^g + A.) sio^g + 2 j/'(.) cos^ - (, - c+ f;) /-('Osin^ jg
+ ^[r(")sin^ + (.-ç + ;;^)/-(.)cos^|g=£,
-/l")sin^g + /(.)cos^g-J/"(.)-^+^i-C+|)/Wcos^||
+ 2Jr(r)cos^-(i ç + ^)/-(î;)sin
dh
Prciuièie Partie. Livre I d'où découlent facilement les suivautes:
,ZV , ,/■(«) '/;/ , / , iW\ dh
1-4+2 hr — , +-I — C + ^--;- = -^7-^ (■= (^os ^ — / sin â), dv'^ l{v) dv^ \ ^ ^ dvj du /(y)^ '''
d'h , f'{v)dh l d6\dq I .„ . .
dv-^ t\v)du V (/y/ (/v t\v)
et encore, si l'on désigne par A' et Y les sommes g + /'// et // — //; ,
dH\ I <iA'
f(v) \ " ' dvj \ du
/•■(r, dt)\\dY
J'aurai l'occasion, dans ce qui suivra, de revenir à ces équations que j'ai déjà établies dans une note on tlie détermination of tJie Radius Vector in tJie absolute orhit of the planets insérée dans le tome XLVII des monthly notices of the Royal Astronomical Society.
/dp ^
i^. La relation entre la somme />^ + ( ,-) d'uo côté, et le carré de
\uuj
la fonction diastématique
de l'autre, sera d'une utilité particulière. Nous allons la chercher. Admettons, pour abréger, les notations
nv).
évidemment, les fonctions A et B sont de petites quantités du premier oi-dre, tant que c est une telle quantité et que 0 et f{v), dont la dernière ne diffère que très peu d'une constante, sont des fonctions du type [A). Avec ces notations, on aura immédiatement les valeurs
hi.
qui, si on les introduit dans l'expreSsion
dy dy
46 Traité des Orbites des Planètes,
conduisent à la relation
Des valeurs signalées, on obtient encore:
iv ) ^ \dv J - ' ^ ^ ^ i + A'
•'^^ + (èy = TT-Î + -^^^> + -^^(' + ^)^'-'^'^ + ^^'^' + ^'^-
Maintenant, si l'on introduit les valeurs de -~ et -~ dans l'en nation
dv dv ^
dv dv dv
il en résultera:
J = - r/(i + A);f, + h{i + A)>f^ + B{ff!j^ + /.y/J - J;
ensuite, en posant:
(;) = X + {gi/^ — hy^)A — B{f/i/^ + ////J, on parviendra à l'expression
(39) '-£= -mi, + k/i—W-
Eu vertu de cette relation, l'expression précédente prend la forme
(40) (i + A){^) = J-A'^^-Bp.
Cela étant, il sera facile de former l'équation
(4-) ^■ + ©'-T^-^WÎ-W'
y' 2/? dp 2 A /dpy zB <-Ip(^\2
i + A 1 + Adv ~^ i + A \dv) '^ i + a'" dv ^ '' '
Premii'ie Partie. Livre I. 47
OU bien, en considérant ré(|uation (31)1 celle-ci:
• Telle est la relation demandée, mais chercLons encore à mettre en évidence les termes élémentaires du type {A), ainsi que les tenues sousélémentaires du premier ordre.
Si, dans ce but, on néglige toute quantité du deuxième ordre, on trouvera, à l'aide de l'équation (26'):
2/ dp l dq dh\, j.
I + Adv V dv ' -"'' du,
( dq , dh\ , ., ,. / dq dh\
Mais, des trois parties mises en évidence î^u second membre, c'est seulement la première qui contient des termes sousélémentaires, de sorte qu'on pourra, eu ne considérant que de tels termes, mettre:
2j dû , dq dh
I + A du dv " dv
Ensuite, puisque le produit de par p -j- ne contient aucun terme
élémentaire ou sousélémantaire du premier ordre, ce qui est facile à voir, et que la partie élémentaire du produit ^ — ;(-r-| . si l'on néffllire les
^ ' * I -f yj \dv/ ■ " °
termes du deuxième ordre, est égale à Arj'^, on parvient à établir l'expressiou que voici:
, \ 2 I (dp\'' 2 dij dh
formule qui nous sera utile plus loin.
48 Traité des Orliitcs des Planètes.
1 4. Les oi'bites absolues des planètes sont des coiu'bes périplegmatiquos du type que nous venons de considérer dans les n"^ 8 — 13; pour une raison qui sera élucidée dans le troisième chapitre, nous allons toutefois changer un peu l'expression analytique du rayon vecteur, telle qu'elle est donnée par l'équation (21). La modification en question s'opère en remplaçant, dans la formule mentionnée, la constante 'p par la (piantitc variable
de sorte que nous aurons:
I + 3j cos (( I — ç)v — ;t)
Eu différentiaut l'expression
il viendra:
Ip I + p dyf
dv I — 7]" du ( I — ;y*)^ (^v
et encore, après une nouvelle diiïéreutiation,
r ï d'p 2 d-q' dp
17' "" I —ri' 'ch' "^ {l — fyd^Tfu
■ 2(1 +p)/d7jY l +p dY.
et si l'on introduit ces expressions dans l'équation (4), après y avoir écrit a au lieu de p, il en résultera l'équation que voici:
UA '^> I " ^V'V I -C+/>)A¥V, .^+pdy
^^^^ dv' ^ I — fdv dv ^ (I — fy \dv / ^ I — f-dv-' ^ ' ^ P
OU bien, eu considérant la relation
irio Partie. Livre I. 4ll
'lie- ci
(I — îj")' \dv / I — îj' f^y'
Des relations signalées, il serait facile de conclure la valeur de P et celle de //, et ensuite, d'examiner si les conditions étaient remplies pour que la courbe définie par l'équation (43) fût péi'iplégmatique. L'équation (45) est cependant moins convenable à l'égard de la comparaison avec l'équation différentielle du rayon vecteur, question à laquelle nous arriverons plus tard, en partant des équations générales de la dynamique. L'inconvénient qu'amène l'équation (43) tient à ce qu'elle fait figurer dans la fonction P des termes des deux t ypes (A) et (B) — p étant supposé toujoui-s une fonction du type (B) — et encore, que cette fonction contient des termes élémentaires.
Mais si l'on fait dépendre la fonction // d'une autre, X, en établissant la relation
drf dp
+ p\ - I — yj' du <lv
2(1 — Yj")- \di! / ' (1 — )j ■■')■- \dv I I — 7^' dv''
et qu'on introduise cette expression de fl , dans l'écpiation (44), il viendra:
/ V ''Y' , 3 I dfdp ,1,3 I /drry , i dY\ .,
résultat dont la comparaison avec l'équation tirée de la d3'namique se fera très facilement.
Supposant toujours que p soit une fonction du type (B), dont la valeur numérique reste moindre que l'unité, il est évident que X est aussi une telle fonction, mais qui oscille entre des limites plus resserrées que ne le fait la fonction p .
La conclusion suivante est donc légitime.
Si, après avoir établi l'équation (43), on parvient, pour déterminer p, à uiu^ équation de la forme de l'équation (47), et qu'on trouve une ex
Tmlt,' tirs orbilcs absolues. 7
ôO Traité des Orbites des Planètes.
pression de p du type (B) conduisant à des valeurs numériques de cette fonction sensiblement moindres que l'unité, la courbe représentée par l'équation (43) sera une courbe périplégmatique.
15. Quant à l'étude des courbes périplégmatiques de double courbure, il suffit, pour le moment de remarquer (junne courbe dont cbaqoe élément appartient à une courbe périplégmatique située dans un plan passant par les deux rayons vecteurs infiniment voisins et tirés des extrémités de cet élément, est aussi périplégmatique dans l'espace, quels que soient les déplacements de ce plan autour du rayon vecteur. Cela se comprend par le fait que la droite menée dans le plan mobile par le centre et perpendiculairement au ra^'ou vecteur, tourne avec ce plan autour de l'axe instantané, (ju'on suppose coincider avec le dit rayon. Donc, la courbe envisagée étant toujoui's concave vers cette perpendiculaire, elle est aussi périplégmatique dans l'espace.
Par cette remarque, on est amené à étudier séparément la trace de la courbe dans le plan instantané et les déplacements de ce ]jlan dans l'espace. Cette manière de considérer les trajectoires des corps célestes fut d'abord proposée par Lagrange dans la mécanique analytique et, après lui, employée avec beaucoup de succès par Hansen. Mais tandis cpie Hansen considérait toujours un sy.stème de coordonnées rectangulaires fixé dans le |)lan mol)ile, je vais admettre des suppositions un peu plus générales, qui amèneront quelques avantages pour le calcul des perturbations absolues
l'ieniièiu Piuti
