CHAPITRE II
Dii'ei's sj/.sfcnu'S de coordonnées.
i6. Cunside'rons d'abord deux systèmes de coordonnées rectangulaires ayant la même origine: l'un, fixe dans l'espace, et l'autre, déterminé de manière à avoir deux axes situés dans le plan instantané déterminé par deux rayons vecteurs consécutifs. Désignons les coordonnées d'un point rapportées au premier système par x , // , z, et les coordonnées du même point rapportées au second système ])ar ç , rj , C, dont la dernière, par supposition, doit être égale à zéro. Supposons enfin que les relations linéaires entre les coordonnées appartenant aux deux systèmes soient les suivantes:
Les relations bien connues, en nombre dt cients, étant celles-ci:
a '' -{- a'i -\- al = i ,
f + ri + n^ i-
afi+ a,/?, + c(.,;5,, = O,
(b) ar f aj^ + a.j.^ = o,
ou bien, réciproquement, les suivantes:
.«5 + fii + n = 1.
six, liant les neuf coeffi-
Traité des Orbites des Plauètes.
ao(, + ;9/î,, + yy.j = o,
o(jC(,, + y9,/3, + ;-,r, = o,
on déduit immédiiitemeut des équations (i) les écjuatious réeiproques :
Je rappelle encore les relations suivantes, aussi bien connues, mais qui, du reste, découlent facilement des équations déjà mentionnées,
^■2 =-- ?ïx — ;5,r
/^2 = «iT — «ri
Conformément à la suj^position que le plan instantané soit déterminé moyeimant les positions de deux rayons vecteurs infiniment voisins, il faut, tant que la trajectoire est une courbe à double courbure, considérer les neuf coefficients a , yî , ;- , oCj , ... comme fonctions du temps t, fonctions que nous admettons, du reste, être réelles et continues.
l'arlii'. Livre I.
Jjii condition ((up Irs axos des ç et des rj soient situés dans le jilan considéré sexjorinie par léquatiou
s^= o ou bien, ce qui revient an même, par la suivante:
(2) o = fx ^ r,!i + i\^.
ee cpii, si y , y^ , y.^ sont des constantes, est l'équation d'un plan passant par l'origine et ex[)rimée en coordt)nnées rap])ortées aux axes fixes dans l'espace. Que ce ])lan passe encore par un point de la courbe infiniment voisin an point x , 1/ , s, cela s'exprime par l'équation
d.r ,hj ,hj
les dérivées étant tirées des expressions des coordonnées considérées comme fonctions du temps.
Par ces déterminations, on a fait tc.iuruer le [ilan instantané autour du rayon vecteur de la courbe; mais il en découle encore quelques conséquences que nous allons mettre en évidence.
En difïérentiant les équations (i), on obtient:
dy
J,+>^ It+r ;ù + ,u C+;^ rj+-j
dz d$ d-rj dÇ da., ^ d,l^ dj.^
dt = ''■-• di + '^■-' ,//, + ? '^ 7/ + ;f ^- + ,7r '^ + df ^'
et si l'on introduit ces expressions dans l'équation (3), après avoir mis:
il en i-ésultera réquati<:)n
^^) ° = (4'+ ^. 'df + ^^'df)^ + ['''Ji. + '^> 'dT + ^^'inh-
Traité des Orbites des Plauètes.
Ensuite, si l'on différentie l'cquatiou (2), et que l'on retranche du résultat l'équatiou (3), ou obtiendra:
En y introduisant les expressions (i), on trouvera immédiatement l'équation précédente.
17. On satisfait aux conditions (a), (b), (a') et (b') en adoptant les expressions suivantes des neuf coefficients:
a = cos 6 cos rr -\- sin 6 sin rr cos /' . yS = cos 0 sin n — sin 9 cos a cos /' , Y = sin 6 sin / ,
«j = sm 9 cos (T — cos 9 sni a cos ; , y5, = sin 9 sin o- + cos 9 cos a cos / , l ;;, = — cos 9 sin /,
«j := — sm a sm t , yîj = cos (T sin / , . j-^ = cos«,
et l'on sait que 9 et o- signi lient alors les angles entre la ligne d'intersection des deux plans et les axes des x et des ç, et /, l'inclinaison mutuelle de ces plans. Les arcs 9 et o- s'appellent d'ailleurs longitudes du noeud du plan mobile sur le plan invariable, l'un compté sur le plan fixe, l'autre, sur le plan mobile.
En difïérentiant les expressions (d), (d') et (d"), toutes les quantités y entrant étant variables, on parvient à des formules qu'il convient de rappeler à cette occasion. Les voici:
Piemièie Partie. Livre I. 55
du
da de
di
— li ~T' — ot 1 ^ —
dt
' dt 'dt
J;9 d(j a de ^ d
dt ~ "
''dt-^'d, + r<^o^<yjt^
dr de , . .di
du da de . di
dr = -l^^dt-^''dt-~r.''''''dt'
dj3. da , -rie , di
dr= ''^dt+^dt+r.^'o^'^j^,
dt
de dt
— cos 9 cos t --
di
da^
dJ ~
da
dt
-nsina'j^,
dt
da di
di
dt
. .di.
— SUl 1 -y- .
i8. Supposons maintenant que le système mobile de coordonnées soit .invariablement lié au plan instantané, de sorte qu'aucun déplacement des ])oints fixes dans ce plan n'ait lieu relativement au système mentionné. Pour distinguer ces coordonnées de celles qui sont rapportées à des axes, mobiles non seulement dans l'espace, mais encore, relativement au système fixé au plan variable, désignons par le caractère barré <t la valeur de l'angle a , lorsqu'on le compte à partir d'une direction fixe dans le plan nommé.
Cela étant, nommons :i\ , i/^ , s^ , a , h , r , a^ , . . . ce que déviennent $ , 7^ , C, oi , 13 , }■ , a^ , . . . lorsque, daus les formules respectives, on met partout (T au lieu de o-, de sorte qu'on a:
a = cos 9 cos (7 + *''! 6 ^''1 (^ '-OS i,
etc. ...
Traité des Orliites des Pliiui'-te
Désignons ensuite les vitesses de rotation autour des axes formant avec le plan instantané un système invariable, par A , /i , y, ce qui nous donnera les expi'essions
dh , dh, 'Tt'^'^df
dh.^
, de , (7c, ^'dt-^^df
de , de.
de.
''dt + "^dr + "'^dr
da
da ^
da
'dt-'^
dt
~'-lt
da^ df
dh
db^
dh
"dt-''^
df
-"■^dt
En introduisant, dans ces formules, les valeurs des neuf coefficients, exprimées par les trois angles, ainsi que celles de leurs dérivées, il en résultera :
di
[1 = sin o'-T^ + cos (T sin i — ,
da , .dQ
' = -dt + '''"dJ^
et, avec ces notations, s'expriment aisément les vitesses suivant les axes liés au plan mobile. En désignant ces composantes par u , v , \v, on a les équations connues
V = VJ\ — ^^, , w = hj^ — fix^ .
Si l'on y pose, pour obtenir les équations de l'axe instantané de rotation,
l'artie. Livre I.
on ti'ouvera trois ('([nations, dont toutel'ois denx seulement sont indépendantes, la troisième ne formant qu'une sim[)]e eonsé(|uenee des autres. Mais les équations qu'on obtient ainsi sont en même temps les expiations du rayon vecteur rapportées à des cooi'données rectan^'ulaires, ])ourvu cpie le jiniut .r, , y, , .ï, appartienne à la trajectoire.
l'ar ce «pie nous venons de dire, il est facile ili; voir cpion fera coïncider le rayon vecteur avec l'axe de rotation du |)Iau instantané, si, après avoir fixé la condition
on étal)lit les liaisons
da
o = Xji^ — iu\ ,
dont la dernière sera, en effet, identiipie avec l'éqnatiim (5), lorsqu'on }• met .Tj et //, à la place de c et rj .
En désignant toujours par ;■ le ra yon vecteiu", et jiar /r, l'any-le ((u'il forme avec l'axe des .t\, de façon tpi'on ait:
;r, = r cos w ;
y. = r sui IV ,
l'éipudion (7) se remplace par celle-ci:
dont nous ferons ns;i<4'e proclininement.
Après avoir établi l'équation (6), ou bien, ce qui revient au même, celles ci:
,]i, dji dh = -"dt-"^dt—"^dt'
Tiait,' des orbites absolu
il sera facile de parvenir aux relations
dx, dx , di/ dz
dr-''dt + "^di + ''-^dt'
dy d,r dii dz
dt
dt
df
dx , dii , dz O ^ C \- C —' — \- c — .
dt ^ 1 dt ^ •' dt
d'où l'on tire réciproquement:
(lO)
dx dx , cl y
dt= "dt + ''rfT'
^'> dt + ^^. <7r
dz dx , dy
Dans ces deux systèmes, les coordonnées jouissent de la propriété remarquable que leurs premières dérivées sont liées au moyen de relations de la même forme, n'importe si les «,/;,... sont variables ou constants. C'est en établissant d'abord ces conditions que Hansen parvint aux expressions assez utiles au calcul des formules analytiques donnant les inés^alités des planètes, mais qui ne sont plus à tout éc^ard convenal)les, quand il s'agit d'expressions absolues, c'est-à-dire d'expressions oii l'on a évité tout développement suivant les puissances du temps.
En retranchant les équations (lo) de celles qu'on va ol)tenir en formant les différentielles totales des expressions (i), après y avoir remplacé l'angle a par a, on retiendra:
da dt
da dï
da
