PS
dv' ZQ{^ + S') dS , tlQ
(t + .sr (I + sr\h ' dy ■
On en déduit finalement l'équation c|ue voici:
(9) 'S-oQi^ + ^')'!^-\<m^ + ^y + §ii + 3s-\- s^)\s-:-^;^.
Traité des orhilca ahsohmi
Traité des Orbites dos Planètes.
Tel est le résultat cherché. On pourra avantatreusemeut y attacher le point de départ des approximations successives, et, par certaines considérations ultérieures, s'assurer de la convergence des développements qu'on va obtenir. Je n'insiste cependant pas, quant à présent, sur l'étude de l'équation obtenue, vu que nous allons en envisager, dans le chapitre suivant, une autre de la même nature, à peu près, mais dont l'usage paraît un peu plus simple. Je me réserve toutefois de revenir, dans la continuation du travail présent, sur l'équation (9).
122. En formant la quadrature de l'expression (28) du n° 103, auparavant multipliée par dv , il importe de mettre le résultat sous la forme fondamentale généralisée, vu que cette forme doit être employée lorsqu'il s'agit de former les équations simultanées dont nous avons parlé à la fin du n° 17. Pour y parvenu", nous établissons d'abord les formules que voici :
J [/>' sin (v — v') — ^ cos (v — v')]^^
= — p' cos (v — v') /- sin (v — v') 4- V'' ,
:io
cos (v
\ , , dn dp f, -f 2p -j- -j-.
sin (v
dv
lo\ ' \ dp
2pp
sin (v — v')
, dp d,p
c.os(v— v') + '/;
l'iviiiièie l'allie. Livre IV.
i ,1 /''/," \ ^ \ , ,dpiln
dp
COS 2(v V')
isin 2(v — v')
, dp
sin 2(v — v'
Ensuite, uoiis allons montrer que les trois fonctions 'l'\ , V',^ et V'^ sont de petites quantités de l'ordre des forces perturbatrices. Or, les trois intégrales que nous venons d'établir entrant, dans l'expression de S, multipliées par des facteurs de l'ordre mentionné, les incréments dus aux fonctions '/'", , V''.j et '/'"^ sont des quantités du second ordre.
En différentiant l'expression (lo), il vient tout d'abord:
-i:r=\iy^+p sin(v — v)
\dw'
Mais -j^, -(- p' est une quantité du premier ordre, et son produit par
sin (v — v') -T- ne renferme pas de terme sousélémentaire du premier ordre
et du type [A). Donc, il est visible (pie la fonction '/'", est une quantité du premier ordre.
Le calcul des fonctions 1'.^ et '/'^ est un peu plus compliqué. Nous parviendrons toutefois aux résultats eu différentiant les équations respectives, (il) et (12).
548 Truilé. des Orbik-s des Phiuètes.
De l'équation (ii), il résultera:
lf)\ ^\dp , dp
dw
dp^■\ , , dodo'
sin (v
r/ d''n\dp , / '',''\ ' «'P , dp d-pl . ,.
~' dv dv'
dv .
-- sin (v — V )
sin V — V
df
cos (v
^ cos V — V + -^'
Admettons, pour abréger, les notations
N et iV' étant, comme ou sait, des quantités du premier ordre. En éliminant, avec les relations signalées, -~ et -r-W de l'équation précédente,
^ dv dv ■ i^ r
nous aurons:
l'rumiLTc Fuitie. Livre IV.
dpdfi
j ) ]N' Slll V— V
