Première Partie. Livre I
De chacune do ces équations, on pourrait, en ayant égard à l'écjuation (6), retrouver la relation (8), mais il seusuit encore les rapports
da : (la, : da„
dh:dh-.db...
Pour les vérifier, il faut se rappeler les relations rpii découlent immédiatement des équations (a), à savoir:
da , du, , da„
-, db , , dh, . , (//(„
Ces équations, formant avec les équations (f) deux systèmes, chacun renfermant deux équations avec trois dérivées, on eu peut éliminer une dérivée quelconque, et on retiendra ainsi une relation entre les deux autres déi'ivées. Eu égard aux équations (c"), ou plutôt aux équations en résultant si l'on remplace a par «, p par b , . . . , les relations qu'on déduit de la sorte seront obtenues sous une forme très simple: voici les exjjressions dont il s'agit:
fe)
da '^dt
da '■^ dt
da^ '•'dt
dh
~dt '
da.^ df '
da^ dt '
dh,
df'
dh dl
'' = '^dt -' dt
db.
Maintenant, si l'on écrit l'équation (5) de la manière suivante:
da. , da, , d<i\ , / dh , dh, . dh.,\
'dt + '^dT + '^dfh + {'dj + '''^dr-^'^drF^'
et (ju'on élimine les dérivées de a^ , a,^ , b^ , b^ eu vertu des équations (g)
Traité ties Orbites des Planètes.
et (g'), 011 reviendra à la première des équations (i i), et de la même manière on retrouvera les deux autres des dites équations.
19. E.^primons maintenant les coordonnées reetangidaires, rapportées aux directions lixes, par le rayon vecteur, par la longitude du point considéré, c'est-à-dirc! l'aug'le entre l'axe des x et la projection du rayon vecteur sur le plan immobile, et par la latitude. En nommant / et l> ces deux angles, nous aurons:
X = r cos b cos / ,
// = r cosb sin/-, ,:' = /■ sin b .
De l'autre côté, si nous introduisons, dans les équations (i), au lieu de ç , rj , C, les valeurs
/■ cos IV ;
et au lieu de et , yî , ;' , a, , . . . les expressions de a , b , c , a^ obtiendrons les relations
cos b cos / = cos 6 cos {w — o) — cos / sin 6 sin [w — a), js b sin / = sin 6 cos (w — ''') + cos i cos 6 sin [iv — a), sin b = sin / sin {iv — cr), dont les deux premières se rem[ilaceront par les suivantes: I cos b cos (/ — 6) = cos («.' — <t), I cos b sin (/ — 9) = cos i sin (w — a).
A ]jartir d'ici, je vais enq)loyer un caractère spécial 5 pour marquer le sinus de la latitude, de sorte que j'aurai:
(15) 3 ^ sin / sin [lU -^ a) ;
et, en dift'érentiant cette expression, j'obtiens^:
= sin « cos (»' — a) -—
+ cos i sin {w
sin i cos [w — t) -j,
dt
Prciiiioro Partie. Livre I.
(il
Mais, eu vi'itii dt's éi[uatioii.s ((>) et (8), les doux dei'uiei's termes de droite se détruisent, et ou aura:
(Iw
sin i eos(«' — a).
Kn |iartaut des équatious (12), il sera facile d'obtenir plusieurs relations utiles.
Voici d'abord les suivantes:
Ensuit
dii dx ., ,^dl
■'tt-^'dt-'"'''''^'dtr
dz dx , .db ^ „ . , , . .dl
