P -KT, '^V , A

— 2/? -|- iV -— COS V — V ).

FiiuileniL'iit, si l'on différeutie ruquatioii (12), il viendra:

, do

dp

COS 2(V v')

,dpd>,

ds dv

''1" / li /'^P\\ 1 , d'p dp

dA^' ~W l + '^'d?!^-

sin 2(v — v') COS 2(v — v')

dp ilp dx dv

dv\

dp\-

siu 2(v

rfv

dv

dv \ \dv

dv

dv

JS 2(v v')

ti^'-(^ï)-y"4

COS 2(v v')

, , dp dp

y-siri 2(v — V + — ^ dv ^ dv

550 Traité des Orbites des Planètes.

d'oîi l'on tire, en considérant les équations (14), la formule que voici:

(16) ^= 2/>'J,iVc0S2(v — V')

av ' dv ^ '

Il est donc démontré, par les formules^ (13), (15) et (16), que les trois

dérivées —r'- , — ~ et — — ^ sont des quantités du premier ordre, vu que

av u\ tlv ^ ^ '■

tous les termes en sont multipliés, ou par N, ou par N'. Mais les expressions des dérivées dont il s'agit ne renfermant pas non plus des ternies sousélémentaires du premier ordre et du type {Â), il est évident que les fonctions '/'", , V'^ et V'"^, elles-mêmes et non seulement leurs dérivées, sont des quantités du premier ordre.

123. On a supposé, dans les derniers numéros, que la fonction Q était donnée par une suite de termes périodiques tout connus, (xénéralisons maintenant un peu cette supposition, et admettons que l'expression de (J soit composée de deux parties, dont l'une est multipliée par la fonction encore inconnue ^, en sorte que nous ayons:

Q = Qo + 4>,c,

Qg et Ci;^, pétant, tous les deux, des agrégats périodiques connus.

En substituant cette expression dans l'équation (6), on obtiendra, par l'intégration, un résultat de la forme

011 F^ , F^ et (p signifient des agrégats périodiques connus.

Ayant obtenu cette valeur de S, on mettra aisément l'équation fondamentale (IX) sous la forme

rdç

±y^+Y^+Y,S=Y^-2Ff0^dv,

Premii-re Partie. Livre IV. 551

équation qui se transforme en la suivante

(IX,) g + (r,,-t,,)| + (j-+.7.-(i;i-Ff7,))e

la fonction Z7, étant déterminée en vertu de l'équation

dv' dv \ ^ dv

La transformation que je viens d'indiquer a été exposée la première fois dans les comptes rendus de l'académie des sciences de l'institut de France, Tome LXXXXV, et ensuite, dans mon troisième mémoire »undersôkningar af theorien for hiralakropparnas rorelser». Dans le second tome de son travail instructif ))les méthodes nouvelles de la mécanique céleste», M. Poincarp: en a donné un analyse remarquable.

II est aisé de voir qu'on pourra souvent, en partant de l'équation (IX,), obtenir une solution relativement à la fonction ç dont l'erreur sera une petite quantité du troisième ordre par rapport au.x forces troublantes.

552 Traité des Orbites des Planètes.