CHAPITRE III

Termes critiques.

124. Le calcul des inégalités périodiques des planètes à été effectué, à de très rares exceptions près, moyennant des quadratures directes, ou bieu, en partant d'une équation différentielle linéaire, dont la solution a été supposée connue. On a ainsi ramené les intégrations à l'application de la règle bien connue: changer le cosinus en sinus, ou le sinus eu cosinus avec signe contraire, et diviser le coefficient du terme considéré par le facteur affectant, dans l'argument, la variable indépendante. Un diviseur déterminé de la sorte sera nommé diviseur linéaire et le procédé mentionné, intégration linéaire.

Cette manière de procéder, sans doute appliquable quant à la plupart des termes apparaissant dans les seconds membres des diverses équations fondamentales, cesse néanmoins d'être légitime lorsque le diviseur linéaire s'abaisse au dessous d'une limite déterminée. En voici la raison.

Si l'on considère, ce qui n'est point interdit, le résultat essentiel de l'intégration d'un terme distinct d'être ce qu'on obtient par l'application de la règle mentionnée mais en employant un autre diviseur que j'appelle diviseur effectif, les deux diviseurs nommés ne sont jamais rigoureusement identiques, bien que le diviseur linéaire puisse constituer la partie prépondérante du diviseur effectif. Mettre le divisetir linéaire dans le dénominateur du coeft'icieut demandé, au lieu du diviseur effectif, revient donc, on s'en aperçoit facilement, à avoir entamé un développement suivant les puissances du rapport de la différence entre les deux diviseurs par le diviseur linéaire. Or, il est facile de prévoir c^ue le rapport mentionné puisse acquérir des valeurs assez grandes pour que le développement dont j'ai parlé devienne divergent: il faut seulement que le diviseur linéaire prenne une valeur suff'isamment petite. En conséquence, on peut attendre des cas où le mode du calcul, en employant le.s diviseurs linéaires, devient impraticable.

Preiniolc l'artic. Livre IV. 503

Lors([u'im diviseur est telloiucnt petit ([u'il douue occasion à des développemei)ts peu convergents ou niciiie divergents, Je le nomme tciinC erififjtte. On peut donc dire (|ue la méthode de l'intégration linéaire ne se prête ])lus aux ternies criti([ues.

Dans la note )>BeTnerkungen iiher die Convergent der nach den Poteuzen der storendon Khifte geordneten Annixherungen im Stôrungsprobleme>'/ on a montré, par des exemples numériques, combien peut s'écarter, de la valeur (>xacte, la valeur d'une inégalité obtenue par l'intégration linéaire On y a, en ]iarticuli(M-, fait voir que, si la fraction -^.^ s'approche

de la valeur — y= , la convergence cesse du développement (|u'on a entamé

en admettant, pour approximation initiale, le résultat de l'intégration linéaire. Dans l'expression de la fraction signalée, A signifie le coefficient du terme considéré, tel qu'il entre dans le second membre de l'équation (X); s, un nombre entier, et A finalement, le diviseur linéaire.

Mais d'autre part, on a aussi mis hors de doute que les vrais résultats relativement aux inégalités considérées dans la note citée, ne deviennent point infinis, même si la valeur du diviseur linéaire s'évanouit. Ce fait-là, étant d'une grande importance quant à l'étude des inégalités périodi(|ues, on en a examiné soigneusement les détails dans le mémoire i^Untersucliungen iiber die Convergenz etov'^

Cependant, les méthodes mises en usage dans le travail mentionné n'étaient pas propres à faire reconnaître la vraie nature des termes élémentaires dans les cas où ils deviennent critiques. A cet égard, il fallait des recherches ultérieures, ce qui m'a obligé de ])ublier le nu'moire -Nouvelles recherches etc.».''

Dans le mémoire nommé, je me suis servi de certaines équations dilTérentielles du second ordre, dont le degré était d'abord égal à 3. J'en ai ensuite déduit de nouvelles écpiations ayant la forme d'écpuitions linéaires et appartenant, ([uant i'i la forme, h la catégorie des é(iuations ([u'on peut appeler, avec M. Poincark et d'autres savants, fquiiHoiis aux variations.

' .Vstl-dil. Xliclir. IM. 121. ' .\cla iiKith. 'Wiuw y.

^ A cl;! mal h. 'l'uiiics 15 et IJ. TraitK des orbites absolues.

554 Traité des Orbites des Planètes.

Mais i'ai eu soin de (k'tei'miner les coefficients entrant dans ces nouvelles équations d'une manière telle que leurs expressions renfermassent certaines quantités constantes du second ordre relativement à la fonction cherchée. De la sorte, j'ai obtenu des équations de forme linéaire mais conduisant il des équations algébriques tout au moins du troisième degré, d'oi^i s'obtenaient les coefficients du résultat représenté toujours par une série trigonométrique. Les équations différentielles jouissant de cette ]iro|)riété ont été appelées équafiovs differentieUes hnristiqnes.

Ow en |)ourra distinguer deux genres.

Considérons l'équation linéaire du second ordre:

d'il , j,

3" étant une fonction de certains coefficients constants encore indéterminés,

et renfermant comme terme additif un agrégat périodique tout connu. La

fonction )', ])eut d'ailleurs renfermer une partie constante toute connue

L"é(niation ]iroi)osée a pour l'intégrale générale l'expression suivanti':

qui peut être remplacée par une autre ]>lus convenable, si y n'est pas une (piantité très petite.

Dans l'expression signalée, les '/' signifient des agrégats périodiques qu'on peut considérer comme tout connus, et u , un coefficient constant qu'on appelle, avec M. PoincarÉ, exposant raractéristique. Quant aux équations horistiques, l'exposant caractéristique est fonction des constantes indéterminées entrant dans l'expression de Y^ L'exposant caractéi-istique ne s'obtient donc pas, moyennant un calcul direct, des quantités toutes connues et données dans l'expression de la fonction F, , mais il entre comme inconnu dans une équation algébrique ou transcendante, d'où Ton tire une valeur réelle de son carré. Cette valeur pouvant être positive ou négative, on distinguera par là les deux genres des équations horistiques:

1°. Equations horistiques à exposant caractéristique réel;

2°. Equations horistiques à exposant caractéristique imaginaire.

' Nouvelles recherches etc., S 7) ii° 5-