Première Partie. Livre IV

n 11 est pus iiéccssiiirc du di.stiiii^Micr «cparcmiuit le cas intermédiaire où rexpu.sant caractéristique disparaît, parce qu'alors rr(|iiati()ii linéaire perd sa propriété d'être horisti(|ue.

Kepreuous l'équation (i6) du 11° 8, et admettons-y:

Supposons ensuite que la série

To +;', + ••

soit convergente pmir toutes les valeurs de 3 entre s — o et une limite supérieure s = s„. En supposant £„ moindre ipie l'unité, on peut encore admettre que les (îoefîicients p„ aillent en croissant, de sort<' (|u'on ait:

K>y^fr-

Ou en conclut que la série est encore convergente, pourvu qu'on ait:

conditiou qui est remplie dans les théories des planètes principales. En effet, le module s étant une quantité du second ordre par rapport aux coefficients diastématiques et aux coeft'icients ana.stématiques, on aura toujours, dans les théories de ces planètes, une valeur de £■' suffisamment petite pour garantir la convergence des termes critiques apparaissant dans le second membre de l'équation (16) du n° 8.

La dernière remarque a été faite, évidemment, pour préciser ce que je viens de dire vers la tin du n° 8.

125. Admettons qu'on ait introduit, dans l'équation (VITI), la variable indépendante v (ou v^) au lieu de v^ ; écrivons-y, pour abréger, p et fj' au lieu de (/;) et (/>'), et supposons finalement (|ue les fonctions (6') et (P) soient mises sous la forme fondamentale généralisée: ré(|uation mentionnée se met alors sous la forme suivante, où les termes du ciii(|uièiiie degré et des degrés supérieurs sont supprimés.

Traité des Orliitcs des Plaïu'-tep.

'f-'P 1 j, 'fp , ' Il \

+ ^v. (/+ Ci:)') +=^w *+'-('■' -c^)")

J);in8 cette cquatidii, ni les P, ui les JV ne sont connus dès le délmt, mais on sait que ceux-là sont des ([uautités du jn'einier ou deuxième ordre

(k'peudant des expressions // — -r- » -'>,■, /' <'f . de t' et j^ ', anisi

([ue de l'angle v — v'. En consultant les formules (27) et (28) du 11° 103, ainsi que les fcjrinules (10), (11) et (12) du n° 122, on parviendra l'acilement à représenter les fonctions d(.)nt il s'agit moyennant des expressions de la forme que voici:

sin 2(v — v')

('■)■' v '?v / ('■) dw-

;9!^;;'[/>'cos(v-v')+^sin(v-v')], ;^/;,"[- p' sin (v - V') + 1;, cos (v - v')], A,.. = y5!,*i"r(0' cos (v — v') + '£. sin (v — v') |,

dp

dv'

Dans ces formules, où l'on a négligé quelques petits termes du second ordre, et oii l'on n'a pas encore tenu compte des parties dues aux fonctions anastcmatiques, les coefficients y5 et ;- sont des quantités du premier ordre, ue dépendant, du reste, que des rapports entre les protomètres.

Piviuièir Partie. Livre IV. ■ ■'i-')"

Poiu- (listiiimuT les actions des diverses planètes, j'ai mis en évidenee les indices /,■ et l . Ainsi la lettre I; se rapporte à la .planète attirée et /, à la ])lanète attirante. Cej)endant, pour débarrasser le plus possible les i'orniules de trop d'indices, j'écrirai, lorsque il ne s'agit (jue de donner un aperçu général, ^?' , /5", . . . au lieu des y'?'"; '^5 , '/î". • ■ ■ «i" ''^'>i ^^^ z^"'''', et ainsi de suite.

Si la planète à hujuelle se rapportent les (juantités /> ,-—,... et

l'angle v, est soumise à l'action de plusieurs autres ])lanètes, les expressions signalées de 1' et de 11' seront com])létées ])ar de nouveaux ternies tout semblables à ceux (pie nous a\nuis mis en évidence. Je vais écrire alors:

+ iKA - /'

;in 2(v — v') sin 2(v — v")

[)s 2(v — v") + 2//' -j-, sin 2(v

(,S , tO n,. == /î;,.| />' cos (y — v') + 'JA sin (v — v') J

+ /5;,,'J //' cos (v — v") + "^.rsin (v — v") +

Ti'aité des (^rl)itc.s des Planètes.

(5 , fl) ^Vi -" f'ii — P' ^i" (^' — ^'') + ^l^v^ cos (v — v') I

+ A!,'i[ — -"" ^"1 (^' ~ ^'") + ;/v' ^^^^ (^' ~ ^'") + (5 , e) P,,o = i%fi\ !>' «-'OS (v — v') + |£. 8iu ( v — v') I

+ /3-Vo| /'" t^«« (v — v") + ■^'^:: siii (v — 'v") + ■ • Finak'iiiuut, l'expressiou complète de TK devient celle-ci:

W' = (r; + ;-■: '-/ '][/^' '^'^•^ (^' — V) + y^^ sin (v — V') I

+ (;-;' +r2''j"')| /'" «^«^ (^' — ^'") + 1^7 siu (v — v")J

(^luuul il s'agit d'une autre planète, par exemple de celle dont les coordonnées s'expriment moyennant f/ , v' et j', j'emploierai les notations

+ 2/^' -COS 2(v' v)

i^') 1 L'OS 2 (v —V ) + 2« ,^'^.,Sm2(v -V )

Prciiiière Partie. Livio [\'. r)59

Désignons eiu^ore par // , //', //", .. les partios oonstanfps dos fonctions 55/ "\ ri'"' , r/'^ , . . , et ])osons:

(7) J\^ = /î, + 1% Il + /5; //' + /?:' //" + . . . + [/']„,, , (7') ]\, = 'p, + ';î, //' -f ',?,, // + 79:' //"+.. + [/']:,,

.'te,

en sorte (pii' [/'J„ 1 , [/'j',,,. «'te. soient des ag'récrats pério{li<|nes exprimant les |)arties varial.)|ps de /^„ , , /',',, , . , . .

Cela étant, nous allons applicpier, à l'écpiation (2), la métliode de transformation établie dans le sj 5 du mémoire «nouvelles reelierelies ete.n. Or, si Ton pose:

(8) ,»-(. -<r„)K + fJ^ + -/.\{> -,»)'=' + ("')"]

les fii.i , f'i.iii/o,/! t't y., étant des fonctions (pi'il faut déternn'ner enin'enalilement, et ^'9, uiii> ecuistante dont la valeur peut êtn- ehoisie de manière à rendre certaines parties variables aussi petites (|ue possible, et cpiim mette:

on arrivera à l'équation

(10) ^+[,-î,-^9,//-^^;//'-^r//"^. .]7r+ç,.,|^ç.„,L+71/ = Tr,

on Ton a désijj'né par M un ag-rég'at périodique don! les ccielTicients sont tout au moins du premier ordre et du troisième degré. ('"est de même

quant aux produits c.„-^ et Cn,L.

Evidemment, les // l'enfermant comme facteur la somme des carrés de tous les coelîicieuts se trouvant dans les expirassions de ^o , //, etc., sont des fonctions horisti(iues, et leur ])réscnce donne à l'équation si^-iialée son caractère horistique.

Ayant obtenu l'écpiation (10), nous allons la diviser en deux autres, en supposant

500 Traité des Orbites des Planètes,

la i'onrtiôii X citant fixée ;iu mi)yen de rr(|uation

-= (r; + r; in\x' f.,s (v - v) + ]j^ si,, (v — v') |

+ (/-;' + r'/Jn\^" '•ns(v — V") + -~- sin (v — v")'|

^ Quant aux fonctions X' , X", etc. (|ui appavaissent dans le second menilire, elles sont données moyennant des équations tout analoqups à celles que nous venons d'établir.

En effet, si, en considérant une seconde planète, nons réitérons les transformations indiquées, nous serons obligés à, mettre:

, dE' , ,r, ,M 7v2 , /''/''A'

S') ,o' = (I -^i,)E' + çr:,'-^ + x:\{^-'i^E" + O/^)]

ce (jui entraîne l'équation suivante:

(lo') ;j!^' + [, '^, - 'I3J1' - 'pjl - 7?;' //"...]//' + ç.; ,.;JZi

— ç-;,,// + M' - II''.

Maintenant, si l'on aibnet:

(II') 77'-A-' + x;,

on ]iourra établir l'erpiation

= Cr, + 'rJ^:^^ '■"^(\'' — ^') + \i[. ^'" i^'' — '') I

+ {'h + '/-" i'")\ X" cos(v'— v") + ,'J;^^ sin (v'-v")J + .. ..