Soient

X = Je C0S(V (T)) + ^M COS(v (7),) +

X' -■= /.' cos (v' — (7/) + /,■; cos (v' — (7>;) -|-

les k étant des coefficients constants, qu'on peut identifier dans la première approximation avec les x, et les co, des angles dont les dérivées par rapport aux variables v , v' , . . , soient des ([uantités du premier ordre. Lorsque, dans les expressions de ces dérivées, il y a des termes périodiques, les coefficients de ces termes seront des quantités du premier ordre et. tout au moins, du pi'emier degré.

Cela étant, nous allons différentier les équations (13), ce qui nous conduira aux expressions de la forme ([ue voici:

( dX dv

= — k sin fv — îô)

dX' ., . . ,

v-7- = — A" sm ( V - (XV ^

/ri.sin(v — w,) — ■ • — (0- /,■[ sin (v' — wl) — ... — (/'),

où les (/) signifient des fonctions de la même nature que les (A), introduites dans le n° 13, et dont les valeurs sont très petites du premier ordre et du premier degré. En les négligeant d'al)ord, nous nous réservons de les réintroduii-e dans les expressions rigoureuses.

Traité lifs orbites absolues 71

',62 Traité (lei= Orl)ites des Planètes.

On parvient maintenant aux formules

X' cos (v — v') -|- j^ sin (v — v') = ]c' cos (v — w) + k[ cos (v — û)[) +..., A cos (v — V ) -f — -- sm (v — v ) = /, cos (v — w ) + /''i cos ( v — w, ) + -■,

X cos (v' — v) + y; sin (v' — v) = Jx cos (v' — ô)) + '■'i cos (v' — 03,) + -, X"cos(v' — v") + y-r- sin (v' — v") = /o"cos(v' — â)")+/r"cos(v' — â5j') + -,

En introduisant les valeurs signalées dans les équations (12), (12'), on arrivera sans peine à un système d'équations algébriques d'où s'obtiennent, moyennant des approximations successives, et les valeurs des coefficients /c , A:, , . . . , k' , k[ , . . . , et celles des vitesses des arguments co, co^ , . . . , w' , a)[ , . . ; je dis expressément: par des approximations successives, ])arce que les H , H' , . . . sont inconnus et ne peuvent pas être calculés, ni même approximativement, qu'après une première détermination des X , X' , . . . . Je reviendrai, du reste, au système mentionné, qu'il paraît inutile de mettre eu évidence quant à présent, avec des applications aux planètes principales, dans la troisième partie du travail présent.

Afin de former, finalement, les équations eu A, , A'J , . . . , j'admettrai avant tout les notations suivantes:

eu sorte que les [5^^] expriment des agrégats périodiques. Je poserai ensuite, en omettant les termes du cinquième degré.