Première Partie. Livre IV

ir, ==^„,,L— f-,„ '^^^J — M + r'AV']\ ^'^' cos(v— v') + -^-.-sin(v— v') | + r'7['y"'][A"'«o.s(v— v") + ■~4sin(v — v")| + . . . , TF; =cr;,L' -ç-;,,,;!^'' -M' + 'r,[rn\l^ cos(v'^- v) + ~sm(v'- v)J

+ ';-ô'[>^"-'] E"cos (v' — v") + 'j-.r sin (v' — v")

alors, en retranchant l'équation (12) de l'équation (10), l'équation (12') de l'équation (10'), et ainsi de suite, il viendra, en considérant les dénotations (1 i) , (i i') , . . . , le système que voici:

= (ri + r'J^')[^l «os (v -y'}+'^ sin (v - V') j + {r\' + r;'/^")[^'^';'cos(v-v") + l^i' sin(v-v")]

+ TF„

= (V, + 'r, ^^)\^, cos (v' — v) + '^ sin (v' — v) I

+ i'h+'r'if^")] A7cos(v' — v") + ^^': sin(v'— v")

+ W{, etc.

564 Traité des Orbites des Planètes.

Eu comparant les équations (12) et (16), on se convaincra tout de suite que les deux systèmes sont tout semblables, à rexceptiou que les équations (16), (16'), sont affectées de termes supposés tout connus, savoir des termes désignés par W^ , W[ , . . . . Ayant obtenu les intégrales du système des équations (12), on aura aussi celles des équations (16). Les procédés analytiques y conduisant n'impliquent pas de difficulté, mais l'application pourra entraîner des calculs épineux, toutes les fois que les expressions des divers W renferment des termes critiques. Mais dans un tel cas, il faut observer deux choses: d'abord que les W sont des quantités du troisième degré, et ensuite que les dénominateurs introduits par l'intégration renferment comme termes additifs les fonctions horistiques II , H' , . . . chacune multipliée par un facteur de l'ordre des forces troublantes. Par là, on est assuré que les termes résultant de l'intégration du système (16) seront des quantités tout au plus du premier degré.

Dans le cas des termes critiques, par exemple dans celui des quatre planètes inférieures, on est obligé de refaire, plusieurs fois, les approximations dès le début, mais on pourra aussi mettre à profit des méthodes de tâtonnement conduisant plus promptement au but. Quant aux détails du calcul, il me faut renvoyer le lecteur à la troisième partie de ce travail.'

127. Supposons qu'on ait déterminé les ternies élémentaires faisant partie des expressions des divers p et 3, dont les derniers s'obtiennent d'une manière tout analogue à celle que nous venons d'exposer dans le iniméro précédent; on sera alors à même de calculer les inégalités diastématiques et anastématiques. Je ne m'arrête cependant pas à ce point quant à présent, parce que le calcul des dites inégalités n'entraîne pas de difficultés sérieuses, pourvu qu'on ait eu soin de mettre en évidence les termes principaux dépendant des fonctions horistiques. Mais ce qu'il ne faut pas pourtant passer sous silence, c'est l'exposition de la manière de calculer les termes critiques et les termes élémentaires entrant dans l'expression de la réduction du temps. Voilà aussi le point le plus délicat de l'analyse des inégalités planétaires.

' Dans la thèse »Sur les termes élémentaires dans l'expression du rayon vecteur», M. !M.\x WoLF a donné une première application de la méthode que je viens d'esquisser dans le texte.