Première Partie. Livre IV

En inspectant les formes des divers arguments et notamment l'expression (i") du n° 95, et en se rappelant que les fonctions V et V y entrant sont toujours accompagnées de U, respectivement de U', fonctions dont les expressions sont données par les formules (3) du n° 40, il est aisé de voir que tout argument peut être mis sous la forme

Arg. = 2/v -j- 2B — i'U,

A et ]J étant des constantes quelconques et s', à très peu près un nombre entier. On y a toutefois supposé que le coefficient

soit mis sous la forme d'un agrégat périodique aux termes constants. Maintenant, si dans l'expression

U = (1 - ç')[fi{nT~ X) - {n'T - A")],

ou supprime les termes dépendant de X , X' et T , ce qui n'altère pas l'exposition de notre méthode d'intégration, l'argument dont il s'agit sera donné moyennant la formule

Arg. = 2X\' + 2B + s'I\

où s signifie le produit — s'(i — ç')/in. Dans le cas d'un terme élémentaire, le nombre s sera toutefois une (juautité de l'ordre des masses troublantes, ce qu'on voit facilement en consultant, par exemple, les formules (14) et ( I 4') du n° 4 I .

Cela étant, nous reprenons l'équation fondamentale (A'), ou bien une autre donnant la valeur de la seconde dérivée de la fonction 1\ T étant mis au lieu de la lettre barrée T. En introduisant ensuite à la place de 3Qj le développement

-A^ sin(2;.„v + 2/>'„ + sj) - J, sin(2^,v + 2/>', + sj) -...,

et en omettant les termes dépendant de yy , ce cjui est permis parce cjue ces termes ne sont pas essentiels, lorsqu'il s'agit d'élucider le principe de la

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méthode d'intégration, et en écrivant finalement G„ au lieu de 2 /,, v -)- 2 /?„ , il viendra:

(.7) ;[^'= - A siu(^o + <n - -1: sin(r/, + sj) -....

11 importe de voir qu'où peut toujours supposer les coefficients A„ positifs. P]n effet, s'il y en a des valeurs négatives, il ne faut qu'ajouter

- à l'angle constant B, après quoi on prendra la valeur positive.

Considérons en particulier l'équation

(18) 0' = - ^ sin [G + sT) — X, *

X étant un agrégat périodique dont nous supposons les divers termes tout connus.

L'intégration de l'équation proposée est en effet un problème assez compliqué; pour le simplifier un peu, je mets d'abord

s et je détermine la fonction Z en établissant l'équation

(19) 'g^^Asin{(r + sZ).

Il restera, pour évaluer la fonction F, l'équation suivante:

(20) '^^ = ~ s A cos {G + sZ) V + s A sin {G + sZ) V

+ ~sAcos{G + sZ)V' — . . . .—'-X. ^

L'intégrale de l'équation (19) s'obtient sur-le-champ. En effet, cette équation sera satisfaite, si l'on admet:

(21) G. + sZ = 2 am ^^ {h + I^),