TT = '' ^^^ ' ,, '' WIU W COS (> COS / -T
' dt lit dl dt
e, SI 1 on c(
nisidère les relations suivantes (lu'on déduit facilement:
/-/ dx
t-Kil-
dt-!'^^)^
h __ dx
dt -!'^dt)^
dz d,, / d,i, dx,
^'dt-'dî- 'V'^dï-i'^dr
et qu'on se ra])pelle la formule
■j dw ' df'
(|u'on oljtieut immédiatenjeut, si l'on exprime r^ et v/j en coordonnées polaires, ou parvient aux résultats
COS b —, = cos i -r- , dt dt
- = (— f, cos/ + rsm/)-
= sin i cos (/ — â)
62 Traité des Orliltes des Planètes.
Dernièrement, des équations (15) et (16), on tlédnit tout de suite les formules
dont la seconde, introduite dans la première des équations précédentes, donne naissance à l'expression
^ ' dw 1 — i'
On pourrait encore remarquer que, si l'on multipliait la seconde des équations (19) par cos/;, et qu'on considérât la première des équations (14), on retomberait dans l'écjuation (16).
20. Passons maintenant à l'hypothèse la plus générale concernant la position de l'axe des f dans le plan instantané. Nous ne supposons donc plus que la direction de l'axe dont il s'agit est invariablement liée à ce plan, mais bien qu'elle se déplace dans ce plan, selon une loi quelconque que nous admettons exprimée analyticjuement par une fonction du temps, toujours finie et continue. En désignant par iV une telle fonction, généralement différente de zéro, notre su[)position s'exprime moyennant les relations
-,, ^ do. ^ (la, , , </«.,
(^0 ^-l^cû + ^^;u +^^df
dR d,i^ dR
''dt-''^dr-''^dt
ou bien par celle
(22) iV=- + cos*-.
En partant de là, on déduit plusieurs formules importantes remplaçant celles que nous venons de trouver dans les deux derniers numéros, pour l'hypothèse: ^ ^ o.
I'r<>iiiii'ii' l'artic. Livif I.
On itiira d'abord, par mi calnil assez simple:
et ensuite:
da , lia. , du, ,^
da
'•' dt
~ y dt~' ^ ~
r-'dt'
' ' dt
-rf-m
Na^,
Puis, si l'on diffi'rentie les deux premières des équations (i'), et que l'on porte, dans le résultat, les valeurs (23), il viendra:
dç ^ d,^ d,, d.
auxquelles équations il faut ajouter l'équation (3), à savoir:
dx dy dz
Des équations cjuo nous venons de mettre en évidence dernièrement, on déduit récijiroquement les suivantes:
dx dt
Traité des Orbites des Planètes.
-,i, = «. ;â + /^> ^ - ^(«.'y - Ac)
en vertu desquelles, reti'anchées des équations (4), après y avoir égalé à zéro C et yj , on parvient aux résultats
En vertu des expressions (25), il sera facile d'obtenir encore les relations suivantes remplaçant les équations (18):
dy
dx 'dt-
dx
dz
H '^' dt
.{^'jï-^^'rr^S' + r)^,
dz
■"dt
';ïï = n'dt-'idi) + '-(> +'?)^^
Puis, en nommant v Taugle entre le rayou vecteur et l'axe des f , ce qui donne:
ç = r cosv; ri = rsinr,
. dri dç
di-'^dt
dv
dt'
la première des é(|uations précédentes se change en celle-ci:
