Première Partie. Livre I

parties, dont l'une est de nature séculaire et l'autre, un agrégat périodique. Dans les recherches auxquelles nous arriverons plus tard, il conviendra cependant de séparer ces deux parties, et d'en réunir la partie séculaire avec l'aup-le a, de manière à avoir:

cr = <T + (ij,

(j^ étant une constante de l'ordre des forces troublantes et du second degré par rapport à l'inclinaison mutuelle des deux plans. L'agrégat périodique faisant l'autre partie de la fonction (j , nous la nommons G, et nous aurons ainsi :

Maintenant, si l'on introduit, dans l'équation (32), les valeurs signalées de rr et de (/, on obtiendra immédiatement:

d'où il e.st visible que le mouvement moyeu de l'angle a est toujours même que celui de l'angle 9.

Les expressions des ci , j3 , ... deviendront maintenant celles-ci :

a = I — sm - j"(i — cos 26) cos 6r — sm -/' sni 29 sm u,

/? = sin - P siu 29 cos 6^+1 — sin - i^( i — cos 29) sin G, I 2 2

y = sin i sin 9 , «j = sin - /' sin 29 cos G — i — sin -'^(i + cos 29) sin G ,

/5, = 1 — sin - P{ I + cos 29) cos G + sin - i'^ sin 29 sin G,

^, ^ — sin i cos 9 ,

«2 ^ — sin i sin 0 cos G — sin i cos 9 sin G , yîj = sin i cos 9 cos G — sin i sin 9 sin G , y^ = cosï,

70 Traité des Orhites des Planètes.

d'où il est aisé de voir que les neuf coefficients ne dépendent plus d'autres arguments que de ceux qui apparaissent déjà dans les expressions de 9 et de /. En effet, l'intégration qu'exige l'équation (33) n'introduit aucun autre nouvel argument que gj , lequel nous avons réuni à l'angle a. Les termes périodiques se trouvant dans l'expression de g dépendent donc seulement des mêmes arguments que 9 et i. C'est évidemment de même quant aux coefficients a , yî , . . . .

En considérant les relations

IV — a =- V — o- = V — 9 — G ,

on aura, en vertu des équations (14),

I cos h cos (/ — 9) = ces i^v — 9) cos G + siu (/' — 9) sin G ,

\ cos h sin (/ — 6) = cos i jsin [o — 9) cos G — cos [v — 9) sin G],

et ensuite, par l'équation (22'),

Il conviendra de noter encore les formules suivantes, qui découlent des équations (28) et (30):

(42) w=vJ^gJ,

; = sin i sin (?; — 9 — G),

Au lieu de l'équation (8), nous aurons finalement:

(3 l 'j o = sm [v — 9 — ^'■j 7/ — sin i cos [v — 9 — "") 77 ■

Une remarque générale relativement aux formules dernièrement obtenues. L'agrégat périodique G étant dans les tliéories des planètes une très petite quantité, on pourrait développer les fonctions cos G et sin G suivant les puissances de cet agrégat, et il n'y aurait lieu de mettre en évidence, dans ces puissances, que les premiers termes. Il paraît toutefois superflu d'écrire, à cette place, les formules qu'on obtiendrait ainsi.

Proniiri'o Pai'tio. r^ivio T. 71

Los formules prcccdeutes ne cluingeraient pas beaucoup si l'ou avait mis

(43) ff = o- + Jiv ,

(44) // = gv + G

au lieu des équations (38) et (39), /y étant une nouvelle constante du même ordre que g^. En effet, l'équation (40), les neuf équations (D), (D'), (D"), ainsi que les équations (41) et (31') et la première des équations (30') restent inaltérées; c'est seulement l'équation (42) et la seconde des équations (30') qui subissent une modification, du reste peu considérable. Nous avons maintenant:

[ j = sin i sin (c — 9 — G),

ainsi que l'expression suivante de la vitesse N:

23. Le proljlème que je me propose finalement d'aborder dans le chapitre présent, est celui-ci:

Etant donnée, par un agrégat périodique, la fonction ], trouver les expressions des fonctions trigonométriques de 6 et de i.

Mais, comme il s'agit principalement de mettre en évidence les termes élémentaii'es que nous supposons contenus dans les expressions cherchées, admettons dès le délnit qu'on ait la fonction 5 donnée par le développement

(47) ,^ = isin((i + -)r — 0) + j,sin((i + T^)v — Sj + ...,

les c, ainsi que les r et les 8, étant des constantes, dont t et les premiers i, , fj , . . . sont de l'ordre des inclinaisons des diverses arbitraires planétaires, les r, de l'ordre des forces troublantes, et les *S', des angles quelconques. Quant aux constantes ; et 0, nous les supposons engendrées par l'intégration d'une équation différentielle du second ordre donnant naissance à la fonction 5.

Traité des Orbites des Planètes.

Etablissons d'abord les formules

I /cos (1> — 0) = j + C(j, - — r 0 — S,){v), I 7 sin (Û — 0) = — S(i, r, — r 0 — S,){v), et nous aurons:

(49) ■ 0- Isin((i +r)r— fl).

Puis, eu différeutiant cette équation, uous aurons un résultat de la forme

(50) |==Zcos((i +r)v-0) + {:),

{C) étant une fonction de la même nature que la fonction (/), inti'oduite dans le n° 13.

Maintenant, si nous introduisons, dans les équations (46), les expressions obtenues, nous parviendrons aux résultats que voici:

I sin i sin {v — e — G) = / sin (( i + r) r — ii),

I sin ■/ cos (r~Q — G) = J cos (( i + r) v — ii) + ((0),

où l'on a admis la notation

(52) ((C)) = y^^^W(7^-i)icos((i +Z)V-Q).

Des équations (51), on déduit facilement l'expression suivante

(53) cosi = V'i — P — 2((C))/cos((i + r);^ — ii) — {{Oy,

formule, en vertu de laquelle la première des équations ( i g) se transforme en celle-ci:

^ ' \ — P 9àn((i + T))v — .QY ^ ^-^

Moyennant les deux formules (53) et (54), ou parvient à déterminer les deux fonctions cos< et l en termes connus, toutefois la très petite quantité g, dont on trouve d'ailleurs facilement une valeur approchée, est

Premii'TO Partie. Livre I. 73

encore indéterminée. Ayiint trouvé l'expression de /, on formera d'une manière assez directe celles des coordonnées :r , 1/ , 2 , vu (|ii'on a:

cosb = ^/i — j%

Mais il conviendra d'exprimer, ])ar des termes trigonométriques connus, aussi les fonctions sin/sinB etsin/cosO. Pour y arriver, établissons d'abord l'exj^ression de la deuxième dérivée de la fonction 5 On obtient i'acilement;

-,^.. = — ( I + v) sin / sin (v — -9 — G)

+ ( 1 + (/) sin i sin (r — 6 — G) (j^ + ~

+ ( I + ^/) ces i cos (n — G — G) — ; et, si Ton se rappelle la relation

..'9 , .10 .de

y- + -7- = L'OS/ — //,

dv dr dv

trouvera, en ajoutant à l'expression de - , celle de ,'^,

'—!, + J = — f/(2 + fi) sin i sin {;o — 9 — rv)

+ ( I -|- //) sin /' cos I, sin (r — 6 — G

+ ( I + '/) cos / cos (r — 9 — G) V ; ^ ■ dv

et puisqu'on a:

o = — sin i cos / cos [v — 9 — G) , + cos i sin (> — 9 — G)~r , ^ dv ^ ' dv

on obtiendra les deux formules

[-j\ + 5 j cos {v — 9 — G) = — r/(2 + //) sin i sin (y — 9 — G) cos (r — G — G)

+ ( I + a) cos ; 1^^ ,

{dv' "*" ') '''" (^' - 6 — G) = — /7 (2 + /7) sin ; sin (r - G - (7)'

+ (i -\- fl) sin / cos / , .

Traiir dm orlntes nljsnbtes.

74 Tinitt'^ fies Orbites fies Planètes.

En multi])liaiit la dennère de oos relations par sin i et en la divisant par (i +//)cos«, il résultera, en vertu de la première des équations (51),

. ., ./9 / sin ((I + r) v — .Q) (,1\ , \ q(2 + 7i)P ^m((\ + z)v — Qy ^"^ * .7., ~" I, JL 7.\ ^,.,. ■■ .1,.' + .1 +

dv (I + 1/) cos i \ilv'' '7 (I + ii}cosi

Cela étant, nous nous rappelons la formule

clG , ., fZe