CHAPITRE I

Courbes périplégmatiqiies.

I . Une courbe qui parcourt incessamment l'espace entre deux sphères homocentriques, et qui tourne à chaque point sa concavité vers une droite, menée par le centre de façon (piune perpendiculaire abaissée du point considéré traverse la sphère intérieure, sera appelée courbe périplégmatique.

4 Traité des Orbites des Planètes.

Fixons à ce centre l'origine des coordonnées.

(lénéralement, le ny'on vectetir d'une courbe périplégiuatique atteint, alistractiou fuite du cas d'une courbe tracée sur une troisième sphère homocentrique et intermédiaire, certains maxima et miniraa dont les valeurs sont comprises entre celles des rayons des deux sphères; mais il peut aussi arriver que la courbe touche toujours, sans la couper, au maximum de son rayon vecteur, la sphère extérieure, et au minimum, la sphère intérieure. Ou pourraitdonc distinguer deux groupes de ces courbes: l'un par la détermination spéciale que les maxima et les minima du rayon vecteur soient toujours éo-aux aux rayons des deux sphères; l'autre groupe renfermera les courbes qui n'atteignent, à chaque maximum ou minimum de leur rayon vecteur, aucune des sphères entourantes.

Eéciproquement, si l'on admet l'idée d'une distance varialjle entre les deux sphères, on peut caractériser les deux groupes par la constance ou par la varialjilité de l'espace dans lequel serpente la courbe périplégmatique, eu touchant, sans couper jamais, l'une ou l'autre des sphères, toutes les fois que le rayon vecteur acquiert une valeur maxima ou miniraa. En nommant diasfèine la distance entre les deux sphères et eu supposant constante la somme de leurs rayons, on distinguera donc les courbes périplégmatiques à diastème constant de pareilles courbes à diastème variable.

Concevons les courbes périplégmatiques dont la trace ne sort pas d'un plan. Une telle courbe touche à chaque maximum ou minimum de son rayon vecteur l'un ou l'autre des cercles entourauts, et elle tourne toujours sa concavité vers une droite menée par le centre de la dite manière ou bien, ce qui revient au même, vers la tangente au cercle intérieur dans le point oîi se coupent ce cercle et le rayon vecteur.

Eu désignant par x et y les coordonnées cartésiennes dans un système convenablement situé et par //, une fonction qui reste positive, tant que X n'excède pas le rayon du cercle intérieur lorsqu'il est raccourci le plus possible, la condition que la courbe tourne sa concavité vers l'axe de x sera exprimée au moyen de l'équation