Première Partie. Livre I

condition, à savoir celle qui concerne la limitation du rayon vecteur, ne peut guère s'exprimer, d'une manière aisée, en maintenant les coordonnées rectangulaires. Eempluçons-les donc par des coordonnées polaires.

Dans ce but, désignons ])ar r le rayon vecteur, par v, l'angle que fait le rayon vecteur avec une direction fixe et par co , l'angle entre l'axe de x et la dite direction. Cela posé, nous aurons:

X = /■ cos (/; — o)) ; y = r sin ((; — w),

d'où l'on tire, par différentiation,

dx dr , . . ,

-r- = ~r cosio — oj) — r sin [v — co),

do dv ^ ' ^ '

dij ilr . , , , >

~ = -,-sin [v — M] + rcos(y — w).

du du ^

Par division, il en résulte finalement;

, -r- sin (y — <o) + r cos (v — w)

dij dv

-,- cos (u — (u) — r sin (v — oj) dv

De cette expression, on déduit, après avoir effectué une seconde différentiation, et en remplaçant le facteur — , par son expression en i> , r et -j- ,

d'r /dr\ '

d 1/ dv \'''V/

dx'

-r- cos (v — co) — r sin [v — w) dv

Avec les expressions que nous venons d'établir, l'équation (i) prend la forme

,, î I , cos (y — cy) — r sin (i' — (u)\

d r /dr\ ^ \dv ] .,

iv' ~ \dv/ r sin {v — cy)

OÙ l'on peut se figurer IJ comme une fonction de r et de v.

Mais l'équation à laquelle nous sommes parvenus, est susceptible d'une simplification assez considérable. En effet, la condition de la concavité non interrompue vers une droite qui passe par le centre dans une direction telle

6 Traité des Orbites des Plauètes.

que X reste moindre, que le rayon du cercle intérieur, est évidemment remplie si l'on fait coiucider la dite direction avec une droite menée par le centre perpendiculairement au rayon vecteur. Par là, on est autorisé à mettre:

u) = V — 90°, ce qui donne:

dv' \'iv

Avant d'aller plus loin, il conviendra d'établir l'équation (2) d'une manière différente de celle que nous avons suivie. Dans ce but, désignons par

a l'angle dont la tangente trigonométrique est égale à ^ , et rappelons-nous

la formule connue

da ' dv' -\dv) '

dv ., /d

r- + - \dv

Figurons-nous maintenant qu'on ait mené une tangente au cercle intérieur dans le point d'intersection avec le rayon vecteur, et désignons par ct^ l'angle que forme cette tangente avec l'axe des x. En supposant, pour un moment, a^ constant, il sera évident que, si l'angle a — a„ tend à augmenter avec V, de sorte que la dérivée de cet angle soit une quantité positive, la courbe dont la tangente forme l'angle a avec l'axe des x, est concave vers la tangente au cei'cle intérieur. Donc, si nous posons:

da r'

du .. /dr

n étant une quantité positive, nous retrouverons tout-de-suite l'équation (2). Encore une remarque relativement à la quantité //. En désignant par R le rayon de courbure dont l'expression connue est

du'' \dvl