Première Partie. Livre I

d'où Tou obtient :

I cos h siii (/ — v) = — sin (î — ( i — cos /) sin [v — 9 — G) cos [u — 6),

I coH h cos (/ — (') =^ cos G — ( i — cos /) sin [v — 6 — G) sin (w — 6).

On conclut t'iiciiemeut de ces dernières relations que la différence / — v s'exprime par un agréy'at périodiipie, tant que G est une petite quantité du même degré que les fonctions i — cos i et i — cos//. On pourra donc parvenir, de deu.\ manières différentes, à la résolution du proljlème énoncé: en déterminant la fonction l par l'intégration de la formule (54) et encore, en évaluant la fonction G en vertu de l'équation (57). Ayant obtenu, au moyen des équations (58), les fonctions sin / sin ^ et sin c' cos ^, on trouvera, en utilisant les équations (60), les fonctions sin (r et cos(/, si la différence l — V est connue, ou bien, cette différence, si l'on a déterminé d'abord la fonction G .

24. Je vais terminer ce chapitre en expliquant ([uelcpies termes nouveaux que je crois utile d'introduire

La liauteur au dessus du j)Iau fixe, à laquelle monte la trace d'une courbe périplégiuatique, sera nommée l'aïuisfènie de cette courbe. Or, l'anastèrae étant donné, du moins approximativement, par l'expression

ri,

r et / ayant les valeurs que prennent ces fonctions, lors([ue l'argument (1 + r);; — iJ est égal à un multiple impair du (juart de la circonférence, j'appelle la fonction / fonction unastéinatique et, l'argument envisagé, argument anastématique.

Les hypothèses que nous venons d'admettre, dans les recherches précédentes sur les courbes périplégmatiques, nous t)nt conduit à exprimer le rayon vecteur ainsi que les coordonnées rectangulaires, rapportées ii des directions fixes dans l'espace, comme fonctions de certaines longitudes, dont la signification est immédiatement claire. Ces longitudes, étant em])loyées très fréquemment dans l'astronomie, je les nomme urriumentu astronomiques. Mais, par cette dénomination, j'entends encore tout autre argument dont la différence avec un argument qui par sa nature est immédiatement astronomique, s'exjjrirae par un agrégat périodique. Deux arguments, lies de la sorte l'un à l'autre, seront appelés arguments isocinétiques.

7G Truite des Orbites des Planètes.

Il peut arriver que l'iigrégat périodique, formant la différence entre deux arguments i.socinétiques, ne dépend que de ces deux arguments euxmêmes; dans ce cas, je dis que les deux arguments sont lioiiwi'ijtliniiqucs, parce que tous les deux augmentent, simultanément, d'un multiple de la circonférence. Dans ce sens, les arguments képlerieus, lanomalie vraie, l'anomalie excentrique et l'anomalie moyenne sont des arguments Lomorjthmiques.

Ou conqjrend facilement qu'une série trigonométrique dépendant d'un certain argument peut être transformée de manière à ne dépendre jilus que d'un autre argument, lionKjrythmique avec celui-là; mais il arrive aussi, même le plus souvent, que des arguments isocinétiques peuvent se remplacer, l'un ])ar l'autre. Au contraire, deux ai'guments, non isocinétiques ne peuvent pas se remplacer, l'un l'autre.

Envisageons maintenant le cas simple oii la fonction diastématique ainsi que la fonction anastématique ont des valeurs constantes. Pour que cela puisse avoir lieu, il faut que les coefficients x^ , x.^ , . . . , que j'appelle coefficients diaslciiiali/jnes, ainsi que les coefficients c^ , Cj , . . . , que j'appelle coefficients anastématiqiies, aient des valeurs égales à zéro. Il s'ensuit que les fonctions rj et I prennent alors les valeurs

valeurs que je nomme module dlnstétnatique et module miastémufiqite. Dans le cas envisagé, le diastème est constant, mais Fanastème, variable, pourvu qu'on n'ait pas le module diastématicpie égal à zéro, ce (jui entraînerait une valeur constante du l'ayon vecteur.

En supposant x et ; différents de zéro, mais toujours, les coefficients diastématiques et les coefficients anastématiques égaux à zéro, les arguments entraiit dans les ex[)ressions des coordonnées rectangulaires rapportées aux directions fixes, seraient au nombre de ti'ois: la longitude du rayon vecteur comptée dans le plan instantané, la longitude d'une des apsides et finalement, la longitude d'un des noeuds du plan instantané sur le plan lixe.

Le rayon vecteur, ne dépendant (jue de la dift'érence entre sa longitude et celle de l'apside, dift'érence que je nommerai argument dinstématnjue, son expression analytique est visiblement indépendante de la direction à partir de laquelle on eonq)te les arcs; il est même indiff'érent si cette direction est invariable ou non.