CHAPITRE III
lîcJations entre les aiu/Knients afiti'ononiiqttes et le temps.
25 Vàv une inductiou tidmiriible, limmortel Kepler parvint, en examiniiut les observations tychouieunes, à découvrir les lois connues portant à jamais son nom. Mais, ce t^rand scrutateur, Fadhérant d'une métaphysique, impossible ajM'ès Newton, et dont les derniers brouillards disparurent en présence des lumières des Kant et des JjAPLACE, méconnut la vraie nature de ses découvertes. Loin d'être l'expression parfaite des lois éternelles et inébranlables, rendant l'image des idées du créateur, son résultat était a|)proxiniatit' et empiri(|ue. En effet, les positions d'inie planète calculées, pour divers moments, d'ain'ès les règles de Kepler ne coincident avec les résultats d'observation que jjeudant un intervalle assez court. Plus cet intervalle s'agrandit, plus inexactes deviennent les positions calculées: un j)etit nombre de semaines sutt'isent pour ipu' les différences entre rol)servation et le calcul soient mises en évidence. Si l'intervalle dont il s'agit comprend quelques centaines d'années, les écarts du calcul montent à des quantités du même ordre que les erreurs de la théorie de Ptolémée, et si, finalement, la série d'observations s'étend sur un temps de (piehjues dizaines de siècles, la conception du mouvement elliptique ne porte pas mieux à la connaissance des mouvements effectifs des planètes que ne le font les idées hardies mais grandioses des pythagoriciens, fondateurs de la science et, si l'on doit croire les mythes, partisans de la métempsycose. Il s'ensuit que de nos jours, la théorie de Kepler ne paraît, à vrai dire, qu'empirique, même à l'esprit le plus modeste.
Que les lois de Kepler aient dominé néanmoins si longtemps l'astronomie théori([ue, cela tient ])rincipalement à la méthode de la variation des constantes arbitraires, méthode inventée par Lagkange et employée, dans la théorie des mouvements des planètes, avec tant de succès par luimême, par Laplace et plusieurs autres astronomes les plus éminents. Mais en revanche, la nature des variations séculaires, découverte à l'aide de la
Proniiorc Partie. T^ivrc I. 79
méthode ddiit nous jiarlioiis, anionait à considérer des courbes plus ijénérales (|ue l'ellipse comme orbites absolues des planètes.
De.s découvertes de Kkplkh, il s'ensuit toutefois un résultat, inaltéré par de.'^ observations s'étendant sur plusieurs siècles, et dont le maintien se contirrae par des considérations théoriques: ce fait, demeuré intact ])armi les conceptions de Kkplkr et s'apiilicpuint aussi à la théorie des orbites absolues, le voici :
Si l'on admet, entre le temps et la loncfitude d'une planète, la relation
dt = -p dii ,
et que l'on porte, dans cette formule, l'expression de r que nous avons donnée dans l'expression (43) du chap. T, la fonction c sera approximativement égale à
Ha{\ —)?'),
H étant une constante dont la valeur est à peu près égale pour toutes les planètes de notre sj'stèrae solaire.
En conséquence, si Fou désigne par i^ iine fonction de / , telle qu'on ait rigoureusement:
(0 <=-7 "^^^ ^dv,
le rapport
dt
sera toujours à peu près égal à l'unité.
C'était pour o])tenir la forme indiquée de la fonction r qu'on a admis l'équation (43) du chap. I, exprimant le rayon vecteur dans l'orbite absolue.
26. Il s'agit maintenant de trouver l'intégrale de l'équation (i).
Pour y arriver d'une manière aisée, désignons la constante y'/trt '" ])ar «, l'argument diastématicpie (i — ç]v — tt, par F, et introduisons, au lieu de F, nu nouvel argument, honutrythmique avec F et, en conséquence, astronomique. Désignons le nouvel argument par E, et établissons les relations
(2) cosF = ^ , sm F = "^ '- ■- ;
I — ly cos E 1 — 7j cos E
80 Traité des Orbites des Planètes,
il s'ensuit réciproqneniment les équations
cos F + ;y
I + 7] cos F
sin E =
y/l — jy'^siu F
I + fj cos F I — Tj cos E
I + -q cos F ' ~ ■'^ "
dont la dernière entraîne l'expression (3) r = «(i — ri cosE)
remplaçant l'équation (43) du chap I.
Qu'on remarque l'analogie des relations (2) et (3) avec les relations correspondantes de la théorie elliptique. Seulement, la quantité 57 n'est plus, dans la théorie des orbites absolues, une constante, mais bien, une fonction élémentaire du type (^).
On déduit d'ailleurs l'équation suivante, aussi analogue à une formule très connue de la théorie elliptique,
tau g - F = 1/ ^ 2 tau g - E .
Maintenant, si l'on multiple l'équation (i) par (i — ç), et qu'on désigne, comme dans le chap. I, l'angle (i — ç) c — F par /', il viendra:
{i—ç)nd:
\l + Y] COS F)-
(I —TjCOsYjfdf
¥a\ différentiant la ]iremière des équations (2), on aura facilement, eu vertu de la relation
la suivante:
{<lf~(J[z— r))sinF
î;')sinE „ suiE- ,
E)- (i — ri cosE)- ''
(I — 3j cos E)
PreniièTe Partie. Livre I.
et, par conséquent, si l'on considère la seconde des dites équations.
df = '''-'^\ dE + ^ ""^ dy^ + d{:r - F).
I— lycosE v'i — ;y-^(i — ^eosE) ' ^ '
Avec cette valeur de df, ou déduit de l'expression précédente de dC la suivante:
(, ç)ndC= (I - rj cosE)r/E + ( ' - 'y^ ^«s E ) sin E ^^^
+ ^'-J^^^d{rr-r).
Supposons maintenant:
(5) (i — <:)>'■:+ .1 — ;r = E — ^ siu E — (i — ç)X,
A étant uue constante arbitraire, introduite par l'intégration; la fonction X s'obtiendra alors en réintégTant la dérivée totale de la formule hypothétique (5), après eu avoir retranché la partie donnée par l'équation précédente. On trouvera de la sorte, en considérant la relation
r^ cos Er/E = jy sin E — j sin Edv] ,
l'expression que voici :
, V ,^ / (2 — M COS E — »') sin E ,
Cette formule, n'étant pas, cependant, assez commode, ou la remplace facilement par uue autre, mieux préparée au développement, en série trigonométrique, de la fonction cherchée. Eu effet, si nous considérous les formules
dyj =-- cos(t — f')'^f{y] cos(r — /')) + sin (- — /')^^('7 si" (~ — /'))> yjdijr— r) = cos(r— r)d{rj sin {tt— /')) — sin (- — r)d{yj cosirr — /')),
TmiW lies whilis absulues. H
82 Traité des Orl)ites des Planètes.
très faciles à vérifier, nous aurons, en remplaçant l'argument E par F, au moyen des formules (2'):
— r/'\2 + 7j cosF|sinP ces (;r —
- r)d{rj cos {n ~
(I + ;;cosF)'
- r)d{rj sin (TT —
— ■fj''\2 + Yj cos F j sin F sin {n —
(l + :y cosF)
:y| (I + ;j cos F)
^ 1 cos(~- — I')(i{rj siu(/T — /'))
+ / -!t^^ ^^ — i! sin (-—/>/ (v7 cos (r—/')).
' / :y( (I + ;j cosF)' j ^ ^ ^' ^ ''
Pour effectuer les intégrations qu'exige cette formule, il faut avant
tout qu'on ait établi le développement de la fonction (i +5ycosF)~^,
suivant multiples de F, et notamment qu'on ait mis en évidence la forme suivante du dit développement:
^7) (,+7coiFr = I + 5, cosF + 2B, cos 2F + 3B, cos 3F + . . ,' les 7? étant des fonctions de jy seul.
' On déduit, par un calcul assez simple, les développements
ainsi que l'identité
