Première Partie. Livre I

Si l'on porte, dans l'équation

(8) {x-àn,K=-Sl.^jdj£.,

le développement (7), hypothétique encore, il est vrai, mais qui est très facile à vérifier, on aura, en intégrant et en désignant la constante arbitraire par A,

(9) (i — c)«C + /i — - = F + 7ij sin F + L\ sin 2F + ■ ■ •

— /Z> I 5, sin F + i?, sin 2F + . . . î ,

où l'on a indiqué, par le symbole D, une ditîérentiation se rapportant seulement aux fonctions 3y sin (- — /'),:ycos(- — /') et jy^, ainsi qu'à leurs puissances et produits, mais où l'on considère l'angle F comme constant. Maintenant, si l'on admet la notation

l'équation (5) prendra la forme bien connue de ré(|uation de KÉpler, savoir:

(11) Gr = E — 7] sinE;

et puisque la relation entre les arcs E et F est la même qu'entre l'anomalie excentrique et l'anomalie vraie, seulement que tj, dans les formules (4) et (11), est une fonction élémentaire du type [A), la relation entre (x et F doit être celle qu'on connaît déjà de la théorie képlerienne. Il s'ensuit que, si l'on différentie les relations mentionnées, en y considérant tj comme constant, on retrouvera les développements connus. Donc, si l'on pose:

E — 3y siu E = / ^ , ' ,, ,

' / I + ); ces F

on doit, en intégrant le second membre, traiter rj comme une constante. Les développements des relations entre les trois anomalies ont beaucoup occupé Hansen. Pour lui, cependant, il ne s'agissait que de trouver les coeiïicients sous une forme permettant de calculer, aisément, leurs valeurs numériques, l'excentricité de l'orbite supposée constante, tandis que, dans la théorie des perturbations absolues, on les demande sous forme de séries

84 Traité des Orbites des Planètes.

procédant suivaut les puissances de ri^ . On pourrait, il est vrai, tirer ces développements des expressions de Hansen, mais on les déduit, plus aisément, dune manière directe.