I II

Ayant obtenu les résultats précédents, il sera facile d'en déduire les coefficients du développement

(12) G — F = Z>, sin F + B., sin 2F + . . . ,

ces coefficients étant les mêmes que nous avons mis en évidence dans l'étpia-

tion (7). En effet, on déduit, de l'équation mentionnée, l'expression de G ,

tout à fait comme dans la théorie ellipticpie, c'est ?i dire en l'intégrant ajjrès

avoir multiplié son second membre par dF , et eu y considérant yj comme

une constante.

De l'équation

. T, v'' — K^sinF

siu h = ,

I + 7] ces F

on déduit maintenant le développement

sin E = sinFj i + A^ cosF -f- A^ cos2r + . . .}

= (i — ' ^,) sin F + i (J, — J3) sin 2F + ... .

Après avoir multiplié cette équation par rj, nous retranchons le produit de l'expression

E = F + ^j siu F + - ^, sin 2F + - J3 sin 3F + . . , ,

ce qui nous donnera:

(12') G = E — 5^sinE = F + (7^1 —y}(j — ^.J,) jsinF

+ 0J,-^,y(^,-Jj)sin2F

+ QA-3'î(^4,-^j)sin3F

On a donc, généralement,

formule qui ne souffre aucune autre exception que celle qui a lieu lorsque s est égal à l'unité.

L'expression générale de A^ que nous avons signalé un peu plus haut, entraîne la relation suivante entre deux coefficients consécutifs:

en la portant dans l'équation

qui découle immédiatement d'une formule déjà donnée, il s'ensuivra:

A,, —^,+1 = —-\Jl -ri'A^.

En vertu de cette valeur, on obtiendra de l'expression précédente de B^ la formule