Première Partie. Livre I
OU bien :
Eu mettaut, dans cette formule s égal à l'ucité, on en tire l'expression finie:
B, = — 25y; les autres B seront exprimés au moyen des développements que voici:
— If- h'-To'-j' -ik^
if+if + is^v'+-
3 r, '7 3 '.1 40^7 lô'^J 64^J
i-.r + ûsf + ---'
— i'^Z—ïfs '?"—■•• '
Ss =
.Lv' ...,
Cela fait, il sera facile de retrouver le développement (7). Si, dans ce but, on différentie léquation (12'), et qu'on introduise, dans le résultat
dV
ainsi obtenu, la valeur de -7' et celle de (i — jycosE), y] étant toujours
considéré comme constant, on aura sur le champ l'équation (7), qui se trouve ainsi vérifiée. Mais pour vérifier les coefficients numériques apparais-
88 Traité des Orbites des Planètes.
sant dans les expressions données plus haut, on pourra mettre, dans l'équation (7), r égal à zéro, ce qui conduit à l'expression
, Il ,■ 5 7 , 75 s 35 fi ,
égalité, d'où l'on conclut facilement l'exactitude de nos chiffres.
Eu introduisant, dans les divers termes de l'expression (6), le développement obtenu de (i + t^cosF)"", on aura tout de suite des expressions dont l'intégration demandée ne causera plus de difficulté.
Mais on pourra aussi trouver une autre expression de la fonction A', plus facile à mettre en nombres que la formule (6). Dans ce but, comparons les trois forniules (9), (10) et (12), et nous arriverons tout d'abord au résultat
(13) (I -ç)X=/7){Z?, sinF + L'.,sin2P + ...j,
d'où il est immédiatement visible que la fonction X est toujours une très petite quantité du premier ordre par rapport aux forces troublantes et du premier degré par rapport aux coefficients diastématiques.
28. Pour une liaison qui sera reconnue dans le numéro prochain, nous allons développer les puissances entières et positives de l'agrégat périodique (1 — F .
Dans ce but, admettons la notation
d'où il s'ensuit:
sin F = — . (oc — a"'), siu 2F = — . (a^ — a~") , ....
L'expression qu'il s'agit de développer, prend maintenant, 11 étant un entier, la forme :
IVmi.'fo l'ailic. Livi'o I. 89
(,4) (G — Fj" = (/J, sin V + R^ siu 2F + . . .)"
Commençons par t'tal)lir le développement
[Pyj: + R^ + . . .]" = ^;;'>a" + ;C|,a" + ' + . . . ,
et clierclions à détei-miner les eoetïieients ?,. On s'aperçoit immédiatement des é<4'alités
ainsi fpie des formnles suivantes servant à ealeulcr de ])roche en proche les divers coefficients:
>''n+2 — -"^lAi + l T- -tJj/-,, "t" ^'sAi-l ;
Ces formules étant les plus convenables au calcul des coefficients dont il s'agit, il n'y a pas lieu de chercher des formules donnant les coefl'icients
isolés indépendamment des autres, formules ([ui deviendraient assez compliquées.
Voici les résidtats (pi'ou a dliti'nus en calculant les coefficients dont il s'agit de ])rocIu> en ])roch(':
Tmit.' lin: orinirs ahsohicx. 12
Traité deï; Orbites fies Planètes.
^ — — j'y — 2^J lô'^
■s'y -iâ'^/ — ■
Af= 9^^ +3'^" +
iàrj\
Af =
