Première Partie. Livre I

on aiini en vertu de l'équation (2) l'expression que voici:

On conclut facilement de cette formule que moins la courbe périplégmatique s'écarte d'un cercle, plus approcbé de l'unité sera le facteur II.

Revenons maintenant à l'équation (2) afin de chercher l'expression analytique de la condition que le rayon vecteur soit compris entre des limites finies.

L'équation dont il s'agit se met facilement sous la forme que voici:

dv r r

ou bien, si l'on désigne par p une constante, elle s'écrit aussi:

Faisons-y:

p et P étant des nouvelles fonctions remplaçant r et //; nous aurons de la sorte

Maintenant, si par l'intégration de cette équation, il résulte une expression de p dont ■ la valeur reste au dessus de — i et ne devient jamais infinie, le rayon vecteur ne sortira en dehors des deux limites finies. En conséquence, l'ecpiation entre p et v, obtenue par l'intégration dont il a été question, ou plutôt, l'équation entre r et v qui en résulte se construit géométriquement par une courbe périplégmatique.

Pour avoir une valeur toujours positive de //, il faut que celle de P surpasse constamment — i . La courbe définie par l'éciuation (5) sera donc une com'l)e périplégmatique, si l'on a toujours:

8 Traité des Orbites des Planètes.

Voilà les conditions primaires auxquelles il faut satisfaire nécessairement, mais on peut leur donner une précision encore plus grande. En effet, pour que le rayon vecteur soit susceptible de maxima et de minima,

il faut que la seconde dérivée ^ prenne alternativement des signes opposés,

d'oîi suit la condition que les valeurs de P — p doivent osciller autour de zéro. Mais malgré cette restriction ultérieure, la fonction P reste considérablement arbitraire, de sorte qu'on peut la choisir de plusieurs manières assez différentes. Nous allons donc examiner, succinctement, les divers types auxquels il y a lieu, dans la théorie des mouvements des corps célestes, de ramener cette fonction.

2. L'équation (2) se dégage du terme dépendant de la première dérivée si l'on y introduit, au lieu de v, une nouvelle variable indépendante r dont la relation à v est exprimée par l'équation

dv — ^dT, r

c étant une constante. Ou obtient de la sorte, en effet, l'équation

En supposant que U soit une fonction de r seul, l'équation signalée admet une intégrale, ù savoir:

où l'on a désigné par h l'arbitraire introduite par l'intégration.

Pour étudier la nature des maxima et des rainima, faisons d'abord — égal à zéro. On obtient ainsi:

équation qui doit admettre au moins une racine réelle et positive, si la constante h a été choisie d'une manière convenable. Si cette équation n'admet