Première Partie. Livre I

les fouctions X et 1^ sexpriincnt iiinsi:

-X = a., cos L.^ + «•! cf*i^ -^^:; + • • • ) I" = «j sin L.^ + a , siii L. + . . . .

Ou tire lie li"i les (l('\'el()])[)enient.s

J77 = — ^ÂK — ^0 ^'» ^-i — '^ÂK — K) «'" ^-. — • • • .

j^ = «.(^ — ^m) <'o^ ^>., + '^AK — K) f'''^ L, + ■ ■ ■;

et niaiiitenunt, il sera faoilo (1(^ former les suivants:

( I + A-) ^ ^ a,{l, - ;, ) cos L, + a, (P. - ;,, ) cos L .^ + ...

+ \ rcil, — ;,)(! + cos 2LJ + \ r^,{X^ - A, )( I + COS 2 L J + , . . + «.^^.(A., + >^.3 2/|) COsXjCOS/y^

+ c(,c<^(A,, + A, — 2 A,) e,.s L, eosL^ +,.. + a.«,(l, + A, — 2;i,) eos L., eus L, + . . .

- Y~ = [o^AK - ^)(i - oos 2LJ + la^À, - ;.)(. - C0S2LJ + • • •

+ c(.,C!.,(A., + À, — 2j^|) sin L., sin Jy.,

+ a2C(,(/, + A, — 2A,) sin L.^ sin L^ -\- ... + «,«,(;, + A, — 2;.,) sin L^ sin L^ + . . + ....

T)'aUc des orbites absolues. 15

114 Traité des OrbilcR des Planètes.

Ou obtient finalement les expressions

+ a, (A, — /^J cosX^ + a„{l^ — ^J pos L, + . . . + oi,oi,XK + À, — 2;,) cos(L, — LJ

+ ^-MK + K - 2^0 cos(L., - 7.J + . . .

+ C(,C(4(/;, + A^ — 2/J cos(X., — L J + ...

+ .. ., (3) (I +xy + r ^ i +ai^4-\- ■■■

+ 20(2 cos/vj + 2ct, cosZj + . . .

+ 2 o(., r^,, cos ( Lj — />., ) + 2 c(., 7 , ( 'OS ( /> j — L J + . . .

Cela établi, concevons d'abord le cas simple ou tous les coefficients ot sont égaux à zéro, à l'exception d'un seul, par exemple a.^. Nous aurons alors:

dv '' ' I + 2«, COS L^ + (à

Distinguons trois cas, savoir:

a.j < I ; ot.^ > I ; ce, = i .

Si, en premier lieu, «^ était moindre que l'unité, nous aurions le développement

7—^ r, = COS L„ — a, cos 2 7y., + ^^ c't'S 3iv,, 4- . . . .

I + 2«2 cos 7a, + «' ^ - i I - J i 1

Avec cette expression, on déduit de la formule précédente, donnant le rapport

~r- , celle-ci :

il H

-j-,= K — -^^ + ''^ÂK — ^)|cosZ2 — «2 c"* 2L., + «2 COS3L3 — . . .).