Première Partie. Livre I

Miiiutouiint, si uous taisons lu constante X, qui est encore à notre disposition, égale à Aj, que nous intégrions et que nous égalions la constante d'intégration à zéro, c'est-à-dire, la constante h à />, , notre résultat sera:

(a) 0 =^ oi., sin L., — -et';; sin 2L., -\- -ai sin 3/a, — • • • j

i'orniule en pleine concordance avec celle (pi'on aurait pu tirer inuné'diatement de l'écpiation (12) du chap. 1.

Passons au deuxième cas. Puisque maintenant a.^ est plus grand ([ue l'unité, nous mettons:

■ ^ I -f — cos L,

«., + cos //„ 1 o..,

I + 2 a., cos L„ + ut «., 2^1 ' ' - - I + — cos L., + —

= — I cos L.^ -\- - cos 2 7y,^

du

Avec ce déveIoi)i)enient, nous aurons, en vertu de l'expression de -7-, la ^ ^ ^ dv

suivante:

^ = ; A + (; ; ) j i — - cos L., + -,cos 2L.. —...!.

Delà, il est visible qu'on doit mettre X = A,,, afin que la fonction 0 ne contienne que des termes périodiques.

Puis, en intégrant, nous aurons un résultat que nous écrivons, eu égard à l'équation (12) (chap. I), de la manière suivante:

(h) â = Ik — h 4- const. sin L., A t, sin 2/^., • — ....

Maintenant, si nous faisons la constante d'intégration égale à /Aj — 1^^, et que nous égalions b à h^, nous aurons la fonction 0 dépourvue de tout terme constant.

Donc, s'il s'agit de mettre l'agrégat périodique

A = «I cos(A,i' + à^) + ('n cos (/.y/' + ù^)

1 1 6 Traité des Orbites des Planètes.

sous forme d'un seul terme, uous aurons dans le premier cas:

A = «j V I + 2a,j cosivj + «2 • cosl/, f + i\ + ^^), la fonction Û étant donnée j^ar la formule (a); et, dans le second:

A = »,\/i + ^;CosX, + 4 . cos(;..,. + l,^ + f)),

formule dans la(|uelle on doit employer le développement (b) de la fonction â Quant au troisième cas, nous voyons immédiatement que l'expression

de y- sera indépendante de l'argument L^ et en conséquence, constante.

Nous aurons, en effet, lorsque nous égalons a.^ à l'unité:

Donc, si nous égalons / à - (Aj -|- ?,.^), b li - [b^ -{- l/.j) et la constante d'intégration à ~{b.^ — b^), la fonction 0 disparaîtra, et nous retenons:

A = rtj v'2(i + cosivJ cos (^- (;, + X^)v +-{b, + b^

= 2«, cosiL, cosQ(;, + l,)v + Ub, + ij),

résultat qu'on peut facilement vérifier, par le calcul direct.

35. Après avoir envisagé notre problème dans les circonstances particulières les plus simples, revenons au cas général. Nous allons entamer la discussion en établissant le développement de la fonction

^ = j(i + Ar + Y'Y'-

Dans ce but, faisons d'abord l'oliservation que la fonction â'^ se met sous les deux formes suivantes: